CHAPITRE 19
LA LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
Une des pr´ eoccupations majeures des probabilistes a ´ et´ e de tout temps
l’´ etude des fluctuations de sommes S n = X 1 + · · · + X n , convenablement
norm´ ees, o` u les termes sont issus d’une suite (X n ) de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees. Les premi` eres ´ etudes port` erent sur
le cas particulier o` u les X n sont des variables al´ eatoires de Bernoulli centr´ ees.
D` es 1909, elles donn` erent lieu `
a un premier r´ esultat : la loi forte des grands
nombres de Borel, qui affirme que S n /n
p.s.
−→ 0. Ce r´ esultat ´ etait pourtant bien
maigre compar´ e au but que les math´ ematiciens de ce d´ ebut de si` ecle s’´ etaient
fix´ e : il affirme, en effet, que S n = o(n) p.s., une propri´ et´ e peu apte `
a d´ ecrire
le comportement de la suite (S n ) de fa¸ con satisfaisante.
Cependant l’´ elan ´ etait donn´ e ; les math´ ematiciens les plus ´ eminents
s’int´ eress` erent au probl` eme et obtinrent des r´ esultats de plus en plus pr´ ecis.
Citons, en particulier, Hausdorff (1913) qui montra que pour tout ε > 0 on a
S n = o(n
(1/2)+ε ) p.s., puis Hardy et Littlewood (1914) qui ´ etablirent que
l’on a en fait S n = O(
√
n log n) p.s. Un point culminant fut atteint en 1924
lorsque Khintchine ´ enon¸ ca sa d´ esormais c´ el` ebre loi du logarithme it´ er´ e, qui
fait l’objet du Th´ eor` eme 3.3 du pr´ esent chapitre. La d´ emonstration qui en
est donn´ ee ici reprend les principales ´ etapes du cheminement historique qui
a conduit `
a ce th´ eor` eme.
1. Notations et lemmes pr´ eliminaires. — Soit (Y n ) (n ≥ 1) une
suite de variables al´ eatoires de Bernoulli, ind´ ependantes, identiquement
distribu´ ees, de loi commune
1
2 (ε 1 + ε 0 ). Pour tout n ≥ 1, on d´ esigne par
X n la variable al´ eatoire centr´ ee, r´ eduite X n = 2 Y n − 1. On note g(u) la
fonction g´ en´ eratrice des moments de X 1 , `
a savoir
g(u) = g X 1 (u) = E[e
uX 1 ] =
1
2
(e
u + e
−u ) = ch u
(u ∈ R)
et pour tout n ≥ 1 on pose : S n =
n
k=1
X k .
Lemme 1.1. — Pour tout u ∈ R, on a : g(u) ≤ e
u
2 /2 .
D´ emonstration. — Il suffit de comparer terme ` a terme les d´ eveloppements
en s´ erie de puissances de g(u) = ch u et de e
u
2 /2 , qui s’´ ecrivent :
g(u) = ch u =
k≥0
u
2k
(2k)!
et
e
u
2 /2 =
k≥0
u
2k
2 k k!
.
LA LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
Une des pr´ eoccupations majeures des probabilistes a ´ et´ e de tout temps
l’´ etude des fluctuations de sommes S n = X 1 + · · · + X n , convenablement
norm´ ees, o` u les termes sont issus d’une suite (X n ) de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees. Les premi` eres ´ etudes port` erent sur
le cas particulier o` u les X n sont des variables al´ eatoires de Bernoulli centr´ ees.
D` es 1909, elles donn` erent lieu `
a un premier r´ esultat : la loi forte des grands
nombres de Borel, qui affirme que S n /n
p.s.
−→ 0. Ce r´ esultat ´ etait pourtant bien
maigre compar´ e au but que les math´ ematiciens de ce d´ ebut de si` ecle s’´ etaient
fix´ e : il affirme, en effet, que S n = o(n) p.s., une propri´ et´ e peu apte `
a d´ ecrire
le comportement de la suite (S n ) de fa¸ con satisfaisante.
Cependant l’´ elan ´ etait donn´ e ; les math´ ematiciens les plus ´ eminents
s’int´ eress` erent au probl` eme et obtinrent des r´ esultats de plus en plus pr´ ecis.
Citons, en particulier, Hausdorff (1913) qui montra que pour tout ε > 0 on a
S n = o(n
(1/2)+ε ) p.s., puis Hardy et Littlewood (1914) qui ´ etablirent que
l’on a en fait S n = O(
√
n log n) p.s. Un point culminant fut atteint en 1924
lorsque Khintchine ´ enon¸ ca sa d´ esormais c´ el` ebre loi du logarithme it´ er´ e, qui
fait l’objet du Th´ eor` eme 3.3 du pr´ esent chapitre. La d´ emonstration qui en
est donn´ ee ici reprend les principales ´ etapes du cheminement historique qui
a conduit `
a ce th´ eor` eme.
1. Notations et lemmes pr´ eliminaires. — Soit (Y n ) (n ≥ 1) une
suite de variables al´ eatoires de Bernoulli, ind´ ependantes, identiquement
distribu´ ees, de loi commune
1
2 (ε 1 + ε 0 ). Pour tout n ≥ 1, on d´ esigne par
X n la variable al´ eatoire centr´ ee, r´ eduite X n = 2 Y n − 1. On note g(u) la
fonction g´ en´ eratrice des moments de X 1 , `
a savoir
g(u) = g X 1 (u) = E[e
uX 1 ] =
1
2
(e
u + e
−u ) = ch u
(u ∈ R)
et pour tout n ≥ 1 on pose : S n =
n
k=1
X k .
Lemme 1.1. — Pour tout u ∈ R, on a : g(u) ≤ e
u
2 /2 .
D´ emonstration. — Il suffit de comparer terme ` a terme les d´ eveloppements
en s´ erie de puissances de g(u) = ch u et de e
u
2 /2 , qui s’´ ecrivent :
g(u) = ch u =
k≥0
u
2k
(2k)!
et
e
u
2 /2 =
k≥0
u
2k
2 k k!
.