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CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
2. — Soit (X p ) (p > 0) une famille de variables al´ eatoires, o` u le terme
g´ en´ eral X p suit la loi gamma Γ(p, λ) (λ > 0). Montrer que
X p − (p/λ)
√ p/λ
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), lorsque p tend
vers l’infini.
3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
la loi de X n ´ etant donn´ ee par (1/n)ε 1 + (1 − 1/n)ε 0 . On pose S n =
n
k=1 X k .
a) Montrer que E[S n ] ∼ Log n, Var S n ∼ Log n.
b) Montrer que Y n =
S n − Log n
√
Log n
converge en loi vers une variable
al´ eatoire de loi N (0, 1).
4. — Soit 0 < p < 1, p + q = 1. Montrer que si p > q, alors
n
k=[n/2]+1
n
k
p
k q
n−k
tend vers 1, lorsque n tend vers l’infini.
5. a) Soient (Y n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires et (N n ) (n ≥ 1)
une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependante de la suite (Y n ) (n ≥ 1), `
a
valeurs dans N
∗ et telles que N n
p
−→ + ∞ lorsque n tend vers l’infini (c’est` a-dire telle que pour tout k ≥ 1 on a lim
n→+∞
P{N n ≥ k} = 1.) Montrer que,
si la suite (Y n ) (n ≥ 1) converge en loi vers une limite Y , alors la suite (Y N n )
converge en loi vers la mˆ eme limite Y .
b) Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
2 , ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, centr´ ees et r´ eduites. On pose Y n =
1
√
n
n
k=1
X k . Soit d’autre part (N n ) (n ≥ 1) une suite ayant les propri´ et´ es
de a). Montrer que l’on a la version suivante du Th´ eor` eme central limit
Y N n
L
−→ N (0, 1) lorsque n tend vers l’infini.