COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
249
Or C n = σ(S n ) ∼ n
α+1/2 /
√
2α + 1, lorsque n tend vers l’infini. On a donc :
√
2α + 1
1
n α+1/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1),
ou encore :
1
n α+1/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1/
√
2α + 1).
Remarque. — Pour α = 1, on a Y n = nX n et
1
n 3/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1/
√
3).
C’est un r´ esultat que l’on utilise dans la th´ eorie du test de Wilcoxon.
7
Application 6.3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, la loi de X n ´ etant p n ε 1 + q n ε 0 (0 < p n < 1, p n + q n = 1).
Supposons que
n≥1 p n q n = +∞. Alors la suite des variables al´ eatoires de
terme g´ en´ eral Z n =
n
k=1 (X k − p k )/
n
k=1 p k q k converge en loi vers une
variable al´ eatoire normale de loi N (0, 1).
D´ emonstration. — Comme E[X k ] = p k et Var X k = p k q k , en posant
S n =
n
k=1 (X k − p k ), on a : (C n )
2 = Var S n =
n
k=1 p k q k . D’autre part,
E
|X k − p k |
3
= p k q
3
k +q k p
3
k = p k q k (p
2
k +q
2
k ) ≤ p k q k . Enfin, la suite (X n −p n )
v´ erifie la condition de Liapounov pour δ = 1, puisque
1
(C n ) 3
n
k=1
E[ |X k − p k |
3 ] ≤
n
k=1 p k q k
n
k=1 p k q k
3/2 =
1
n
k=1 p k q k
1/2 ,
expression qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Il en r´ esulte que
Z n = S n /C n converge en loi vers une variable al´ eatoire normale de loi
N (0, 1).
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit (X λ ) (λ > 0) une famille de variables al´ eatoires, o` u le terme
g´ en´ eral X λ suit la loi de Poisson π λ . Montrer que (X λ − λ)/
√
λ converge en
loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), lorsque λ tend vers l’infini.
7 Siegel (Sidney). — Non-Parametric Statistics for the Behavioral Sciences. — McGrawHill, , p. 79.
EMENTS ET EXERCICES
249
Or C n = σ(S n ) ∼ n
α+1/2 /
√
2α + 1, lorsque n tend vers l’infini. On a donc :
√
2α + 1
1
n α+1/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1),
ou encore :
1
n α+1/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1/
√
2α + 1).
Remarque. — Pour α = 1, on a Y n = nX n et
1
n 3/2
n
k=1
Y k
L
−→ N (0, 1/
√
3).
C’est un r´ esultat que l’on utilise dans la th´ eorie du test de Wilcoxon.
7
Application 6.3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, la loi de X n ´ etant p n ε 1 + q n ε 0 (0 < p n < 1, p n + q n = 1).
Supposons que
n≥1 p n q n = +∞. Alors la suite des variables al´ eatoires de
terme g´ en´ eral Z n =
n
k=1 (X k − p k )/
n
k=1 p k q k converge en loi vers une
variable al´ eatoire normale de loi N (0, 1).
D´ emonstration. — Comme E[X k ] = p k et Var X k = p k q k , en posant
S n =
n
k=1 (X k − p k ), on a : (C n )
2 = Var S n =
n
k=1 p k q k . D’autre part,
E
|X k − p k |
3
= p k q
3
k +q k p
3
k = p k q k (p
2
k +q
2
k ) ≤ p k q k . Enfin, la suite (X n −p n )
v´ erifie la condition de Liapounov pour δ = 1, puisque
1
(C n ) 3
n
k=1
E[ |X k − p k |
3 ] ≤
n
k=1 p k q k
n
k=1 p k q k
3/2 =
1
n
k=1 p k q k
1/2 ,
expression qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Il en r´ esulte que
Z n = S n /C n converge en loi vers une variable al´ eatoire normale de loi
N (0, 1).
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit (X λ ) (λ > 0) une famille de variables al´ eatoires, o` u le terme
g´ en´ eral X λ suit la loi de Poisson π λ . Montrer que (X λ − λ)/
√
λ converge en
loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), lorsque λ tend vers l’infini.
7 Siegel (Sidney). — Non-Parametric Statistics for the Behavioral Sciences. — McGrawHill, , p. 79.