6. LE TH ´
EOR `
EME DE LIAPOUNOV
247
L’implication a) ⇒ b) du Th´ eor` eme 5.1 se d´ emontre alors comme suit.
D´ esignons par ϕ la fonction caract´ eristique de X 1 et pla¸ cons-nous d’abord
dans le cas o` u la loi µ de X 1 est sym´ etrique, ce qui implique que ϕ est r´ eelle.
La condition a) entraˆ ıne que l’on a : lim
n→∞
ϕ(1/
√
n )
n = e
−1/2 . Or pour
n assez grand, on a ϕ(1/
√
n) > 0 et on peut passer aux logarithmes. On
obtient n Log ϕ(1/
√
n) ∼ −1/2, d’o` u ϕ(1/
√
n) − 1 ∼ −1/(2n) et donc
2
1 − ϕ(1/
√
n)
1/n
∼ 1. Par le Lemme 5.2 on en d´ eduit
R
x
2 dµ(x) = lim
n→+∞
2
1 − ϕ(1/
√
n)
1/n
= 1.
Passons maintenant au cas g´ en´ eral. La condition a) entraˆ ıne que la suite
(Z n ) (n ≥ 1) d´ efinie par
Z n =
(X 1 − X 2 ) + (X 3 − X 4 ) + · · · + (X 2n−1 − X 2n )
√
2n
=
1
√
2
X 1 + X 3 + · · · + X 2n−1
√
n
−
X 2 + X 4 + · · · + X 2n
√
n
converge en loi vers une variable normale de loi N (0, 1). D’autre part,
si l’on pose Y n = (X 2n−1 − X 2n )/
√
2, on peut ´ ecrire Z n sous la forme
Z n = (Y 1 +· · ·+Y n )/
√
n, o` u les Y n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi sym´ etrique, centr´ ee. On peut donc leur appliquer le r´ esultat
de a). On trouve ainsi E[Y
2
1 ] = 1 et le Lemme 5.3 permet d’en d´ eduire
E[X
2
1 ] = 1.
6. Le th´ eor` eme de Liapounov. — Le th´ eor` eme de Lindeberg admet
le corollaire suivant, connu sous le nom de th´ eor` eme de Liapounov.
Th´ eor` eme 6.1. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, de L 2+δ pour un certain δ > 0, et centr´ ees. Posons Var X k =
σ
2
k . Introduisons la suite des sommes partielles S n =
n
k=1 X k et posons
Var S n =
n
k=1 σ
2
k = C
2
n . Enfin, supposons v´ erifi´ ee la condition de
Liapounov :
1
(C n ) 2+δ
n
k=1
E
|X k |
2+δ → 0
(n → ∞).
Alors la suite de variables al´ eatoires (Z n = S n /C n ) converge en loi vers une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
D´ emonstration. — Il suffira de montrer que la condition de Liapounov
implique celle de Lindeberg. Notons µ k la loi de probabilit´ e de X k . On a pour
tout δ > 0
|x|≥εC n
x
2 dµ k ≤
|x|≥εC n
x
2
|x|
εC n
δ
dµ k
=
1
(εC n ) δ
|x|≥εC n
|x|
2+δ dµ k ≤
1
(εC n ) δ E
|X k |
2+δ
;
EOR `
EME DE LIAPOUNOV
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L’implication a) ⇒ b) du Th´ eor` eme 5.1 se d´ emontre alors comme suit.
D´ esignons par ϕ la fonction caract´ eristique de X 1 et pla¸ cons-nous d’abord
dans le cas o` u la loi µ de X 1 est sym´ etrique, ce qui implique que ϕ est r´ eelle.
La condition a) entraˆ ıne que l’on a : lim
n→∞
ϕ(1/
√
n )
n = e
−1/2 . Or pour
n assez grand, on a ϕ(1/
√
n) > 0 et on peut passer aux logarithmes. On
obtient n Log ϕ(1/
√
n) ∼ −1/2, d’o` u ϕ(1/
√
n) − 1 ∼ −1/(2n) et donc
2
1 − ϕ(1/
√
n)
1/n
∼ 1. Par le Lemme 5.2 on en d´ eduit
R
x
2 dµ(x) = lim
n→+∞
2
1 − ϕ(1/
√
n)
1/n
= 1.
Passons maintenant au cas g´ en´ eral. La condition a) entraˆ ıne que la suite
(Z n ) (n ≥ 1) d´ efinie par
Z n =
(X 1 − X 2 ) + (X 3 − X 4 ) + · · · + (X 2n−1 − X 2n )
√
2n
=
1
√
2
X 1 + X 3 + · · · + X 2n−1
√
n
−
X 2 + X 4 + · · · + X 2n
√
n
converge en loi vers une variable normale de loi N (0, 1). D’autre part,
si l’on pose Y n = (X 2n−1 − X 2n )/
√
2, on peut ´ ecrire Z n sous la forme
Z n = (Y 1 +· · ·+Y n )/
√
n, o` u les Y n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi sym´ etrique, centr´ ee. On peut donc leur appliquer le r´ esultat
de a). On trouve ainsi E[Y
2
1 ] = 1 et le Lemme 5.3 permet d’en d´ eduire
E[X
2
1 ] = 1.
6. Le th´ eor` eme de Liapounov. — Le th´ eor` eme de Lindeberg admet
le corollaire suivant, connu sous le nom de th´ eor` eme de Liapounov.
Th´ eor` eme 6.1. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, de L 2+δ pour un certain δ > 0, et centr´ ees. Posons Var X k =
σ
2
k . Introduisons la suite des sommes partielles S n =
n
k=1 X k et posons
Var S n =
n
k=1 σ
2
k = C
2
n . Enfin, supposons v´ erifi´ ee la condition de
Liapounov :
1
(C n ) 2+δ
n
k=1
E
|X k |
2+δ → 0
(n → ∞).
Alors la suite de variables al´ eatoires (Z n = S n /C n ) converge en loi vers une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
D´ emonstration. — Il suffira de montrer que la condition de Liapounov
implique celle de Lindeberg. Notons µ k la loi de probabilit´ e de X k . On a pour
tout δ > 0
|x|≥εC n
x
2 dµ k ≤
|x|≥εC n
x
2
|x|
εC n
δ
dµ k
=
1
(εC n ) δ
|x|≥εC n
|x|
2+δ dµ k ≤
1
(εC n ) δ E
|X k |
2+δ
;