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CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
5. Un compl´ ement au th´ eor` eme de Lindeberg-L´ evy. — Dans
ce paragraphe, nous donnons une condition n´ ecessaire et suffisante pour
que le th´ eor` eme central limit soit vrai, lorsque les variables al´ eatoires
sont ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. L’´ enonc´ e en question est
le suivant.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
r´ eelles, ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, telles que X 1 ∈ L
1 et
E[X 1 ] = 0. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) la suite de terme g´ en´ eral Y n =
X 1 + · · · + X n
√
n
converge en loi vers une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1) ;
b) X 1 ∈ L
2 et E[X
2
1 ] = 1.
D´ emonstration (L. Pratelli, communication priv´ ee). — Puisque l’implication b) ⇒ a) n’est autre que le th´ eor` eme de Lindeberg-L´ evy, il suffit de
d´ emontrer a) ⇒ b). A cet effet, nous utiliserons les deux lemmes suivants.
Lemme 5.2. — Soit X une variable al´ eatoire de loi µ et de fonction
caract´ eristique ϕ. Alors on a, dans [0, +∞],
lim
u→0
2
1 − − ϕ(u)
u 2
=
R
x
2 dµ(x).
D´ emonstration. — Pour u = 0 on a :
I(u) = 2
1 − − ϕ(u)
u 2
= 2
R
1 − cos ux
u 2
dµ(x).
Le terme (1 − cos ux)/u
2 est compris entre 0 et x
2 /2 et converge vers x
2 /2,
lorsque u → 0. Dans [0, +∞], on a donc
R
x
2 dµ(x) ≤ lim inf
u→0
I(u) ≤ lim sup
u→0
I(u) ≤
R
x
2 dµ(x),
o` u la premi` ere in´ egalit´ e r´ esulte du Lemme de Fatou, la seconde ´ etant triviale.
Le lemme en d´ ecoule.
Lemme 5.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles
ind´ ependantes, tel que X + Y appartienne ` a L
2 . Alors X et Y appartiennent
` a L
2 .
D´ emonstration. — Montrons, par exemple, que Y appartient `
a L
2 .
D´ esignons par µ la loi de X. Alors pour tout x r´ eel on a :
R
E[(x + Y )
2 ] dµ(x) = E[(X + Y )
2 ] < +∞ ;
de sorte que, pour µ-presque tout x (donc pour un x au moins !), la somme
x + Y appartient `
a L
2 .