4. LE TH ´
EOR `
EME DE LINDEBERG
245
c) Montrons que A n → 0. Posons g(x, t, u) = x
2 (e
itux/C n − 1) ; on a :
E[X
2
k (e
ituX k /C n − 1)] =
|x|<εC n
g dµ k +
|x|≥εC n
g dµ k .
Si |x| < εC n , on a |g| ≤ x
2
|tux| /C n , puisque
e
iα
− 1
≤ |α|. De l` a
|g| ≤ x
2
|tu| ε. Si |x| ≥ εC n , on a |g| ≤ 2x
2 , puisque
e
iα
− 1
≤ 2. On
en d´ eduit :
E[X
2
k (e
ituX k /C n − 1)]
≤ |tu| εσ
2
k + 2
|x|≥εC n
x
2 dµ k ;
|A n | ≤ ε |t| +
1
C 2
n
n
k=1
|x|≥εC n
x
2 dµ k ;
d’o` u A n → 0, en vertu de la condition de Lindeberg et du fait que ε > 0 est
arbitraire.
d) Montrons que B n → 0. On a
|B n | ≤
n
k=1 σ
4
k
C 4
n
≤
sup
1≤k≤n
σ
2
k
C 2
n
n
k=1
σ
2
k
C 2
n
=
sup
1≤k≤n
σ
2
k
C 2
n
;
d’o` u B n → 0, en vertu de la partie a).
Remarques. — Nous avons vu dans la partie a) de la d´ emonstration que
la condition de Lindeberg implique que (1/C
2
n ) sup 1≤k≤n σ
2
k → 0, lorsque n
tend vers l’infini ; c’est-` a-dire que la plus grande variance de X 1 , . . . , X n
est asymptotiquement n´ egligeable devant la variance de la somme S n =
X 1 + · · · + X n . Le rˆ ole de cette derni` ere condition est mis en relief par le
th´ eor` eme suivant dˆ u `
a Feller.
6
Th´ eor` eme 4.1
. — Adoptons les hypoth` eses et les notations du th´ eor` eme 4.1. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
1) la condition de Lindeberg ;
2) a) la suite de terme g´ en´ eral Y n = S n /C n converge en loi vers une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1) ;
b)
1
C 2
n
sup
1≤k≤n
σ
2
k → 0
(n → ∞).
6 Feller (William). — An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. 2.
J. Wiley, , p. 491.