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CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
Th´ eor` eme 4.1. — Si la condition de Lindeberg suivante est satisfaite,
` a savoir que pour tout ε > 0, on a
1
C 2
n
n
k=1
|x|≥εC n
x
2 dµ k (x) → 0,
lorsque n tend vers l’infini, alors la suite des variables al´ eatoires Z n = S n /C n
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
D´ emonstration
a) La condition de Lindeberg implique que
1
C 2
n
sup
1≤k≤n
σ
2
k → 0 lorsque n
tend vers l’infini. En effet,
sup
1≤k≤n
σ
2
k = sup
1≤k≤n
|x|<εC n
x
2 dµ k +
|x|≥εC n
x
2 dµ k
≤ ε
2 C
2
n +
n
k=1
|x|≥εC n
x
2 dµ k ;
d’o` u :
1
C 2
n
sup
1≤k≤n
σ
2
k ≤ ε
2 +
1
C 2
n
n
k=1
|x|≥εC n
x
2 dµ k .
Le r´ esultat d´ ecoule de la condition de Lindeberg et du fait que ε > 0 est
arbitraire.
b) Consid´ erons la variable al´ eatoire Z n =
S n
C n
=
n
k=1
X k
C n
; sa fonction
caract´ eristique est donn´ ee par ϕ Z n
(t) =
n
k=1
ϕ X k
t/C n
. D’apr` es la partie a),
pour tout nombre r´ eel t on peut trouver n assez grand pour que, pour tout
k = 1, . . . , n on ait 3(t
2 /C
2
n )σ
2
k ≤ 1. Il r´ esulte alors du Th´ eor` eme 4.7, chap. 13,
appliqu´ e ` a chaque X k , que Log ϕ Z n
(t) existe et admet la repr´ esentation
Log ϕ Z n
(t) =
n
k=1
Log ϕ X k
t
C n
,
avec
Log ϕ Z n
(t) = −
t
2
2
n
k=1
σ
2
k
C 2
n
− t
2
1
C 2
n
n
k=1
1
0
(1 − u)E
X
2
k
e
ituX k /C n − 1
du
+ 3t
4
n
k=1 σ
4
k
C 4
n
θ
[avec |θ| ≤ 1]
= −
t
2
2
− t
2 A n + 3t
4 B n .
Pour d´ emontrer le th´ eor` eme, il suffit de montrer que A n et B n tendent vers 0
lorsque n tend vers l’infini.