4. LE TH ´
EOR `
EME DE LINDEBERG
243
3. Le th´ eor` eme central limit et la formule de Stirling. — Soit
(X p ) (p > 0) une famille de variables al´ eatoires dont le terme g´ en´ eral X p suit
la loi Γ(p + 1, 1). Lorsque p tend vers l’infini, (X p − (p + 1))/
√
p + 1 converge
en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1) ; il est clair que (X p − p)/
√ p a
le mˆ eme comportement asymptotique lorsque p tend vers l’infini. Nous allons
montrer que cette derni` ere propri´ et´ e est ´ equivalente `
a la formule de Stirling.
Th´ eor` eme 3.1. — Soit (X p ) (p > 0) une famille de variables al´ eatoires
dont le terme g´ en´ eral X p suit la loi Γ(p + 1, 1). Alors chacune des deux
propri´ et´ es suivantes peut ˆ etre d´ eduite de l’autre :
a) (X p −p)/
√ p converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1),
lorsque p tend vers l’infini (th´ eor` eme central limit ) ;
b) Γ(p + 1) ∼ p
p e
−p
√
2πp, lorsque p tend vers l’infini (formule de
Stirling).
D´ emonstration. — D´ esignons les densit´ es de X p et de (X p − p)/
√ p
respectivement par f p et g p ; on a :
f p (x) =
1
Γ(p + 1)
e
−x x
p I [0,+∞[ (x) ; g p (x) =
√ pf p (p + x
√ p).
Pour tout r´ eel x, on peut choisir p > 0 assez grand pour que p + x
√ p > 0 ;
on a alors
g p (x) =
√ p
1
Γ(p + 1)
e
−(p+x
√ p) (p + x
√ p)
p =
p
p e
−p
√
2πp
Γ(p + 1)
1
√
2π
r p (x),
o` u
r p (x) = e
−x
√ p
1 +
x
√ p
p
;
de l` a :
(3.1)
x
−∞
g p (u) du =
p
p e
−p
√
2πp
Γ(p + 1)
1
√
2π
x
−∞
r p (u) du.
Un calcul ´ el´ ementaire montre que r p (u) → e
−u
2 /2 lorsque p tend vers l’infini ;
d’o` u, en appliquant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, on a pour tout r´ eel x
(3.2)
x
−∞
r p (u) du →
x
−∞
e
−u
2 /2 du,
lorsque p tend vers l’infini. Le th´ eor` eme r´ esulte alors de (3.1) et (3.2).
4. Le th´ eor` eme de Lindeberg. — Dans le th´ eor` eme suivant, on suppose
donn´ ee une suite (X k ) (k ≥ 1) de variables al´ eatoires, de L
2 , centr´ ees et
ind´ ependantes. On pose Var X k = σ
2
k et on d´ esigne par µ k la loi de probabilit´ e
de X k . Pour tout n ≥ 1 on note S n la somme partielle S n =
n
k=1 X k et on
pose Var S n =
n
k=1 σ
2
k = C
2
n .
EOR `
EME DE LINDEBERG
243
3. Le th´ eor` eme central limit et la formule de Stirling. — Soit
(X p ) (p > 0) une famille de variables al´ eatoires dont le terme g´ en´ eral X p suit
la loi Γ(p + 1, 1). Lorsque p tend vers l’infini, (X p − (p + 1))/
√
p + 1 converge
en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1) ; il est clair que (X p − p)/
√ p a
le mˆ eme comportement asymptotique lorsque p tend vers l’infini. Nous allons
montrer que cette derni` ere propri´ et´ e est ´ equivalente `
a la formule de Stirling.
Th´ eor` eme 3.1. — Soit (X p ) (p > 0) une famille de variables al´ eatoires
dont le terme g´ en´ eral X p suit la loi Γ(p + 1, 1). Alors chacune des deux
propri´ et´ es suivantes peut ˆ etre d´ eduite de l’autre :
a) (X p −p)/
√ p converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1),
lorsque p tend vers l’infini (th´ eor` eme central limit ) ;
b) Γ(p + 1) ∼ p
p e
−p
√
2πp, lorsque p tend vers l’infini (formule de
Stirling).
D´ emonstration. — D´ esignons les densit´ es de X p et de (X p − p)/
√ p
respectivement par f p et g p ; on a :
f p (x) =
1
Γ(p + 1)
e
−x x
p I [0,+∞[ (x) ; g p (x) =
√ pf p (p + x
√ p).
Pour tout r´ eel x, on peut choisir p > 0 assez grand pour que p + x
√ p > 0 ;
on a alors
g p (x) =
√ p
1
Γ(p + 1)
e
−(p+x
√ p) (p + x
√ p)
p =
p
p e
−p
√
2πp
Γ(p + 1)
1
√
2π
r p (x),
o` u
r p (x) = e
−x
√ p
1 +
x
√ p
p
;
de l` a :
(3.1)
x
−∞
g p (u) du =
p
p e
−p
√
2πp
Γ(p + 1)
1
√
2π
x
−∞
r p (u) du.
Un calcul ´ el´ ementaire montre que r p (u) → e
−u
2 /2 lorsque p tend vers l’infini ;
d’o` u, en appliquant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, on a pour tout r´ eel x
(3.2)
x
−∞
r p (u) du →
x
−∞
e
−u
2 /2 du,
lorsque p tend vers l’infini. Le th´ eor` eme r´ esulte alors de (3.1) et (3.2).
4. Le th´ eor` eme de Lindeberg. — Dans le th´ eor` eme suivant, on suppose
donn´ ee une suite (X k ) (k ≥ 1) de variables al´ eatoires, de L
2 , centr´ ees et
ind´ ependantes. On pose Var X k = σ
2
k et on d´ esigne par µ k la loi de probabilit´ e
de X k . Pour tout n ≥ 1 on note S n la somme partielle S n =
n
k=1 X k et on
pose Var S n =
n
k=1 σ
2
k = C
2
n .