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CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
Il en r´ esulte que, pour n grand la loi binomiale B(n, p) peut ˆ etre
approch´ ee par la loi normale N (np,
√ npq).
Cas particulier 2. — Prenons pour loi commune des X n la loi de Poisson
π 1 , de param` etre 1. Alors S n suit la loi de Poisson π n de param` etre n ; on a
E[S n ] = n, Var S n = n, et le Th´ eor` eme 2.1 affirme :
Proposition 2.3. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n = (S n − n)/
√
n converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
Il en r´ esulte que, pour n grand , la loi de Poisson π n peut ˆ etre approch´ ee
par la loi normale N (n,
√
n).
Remarque 1 (Bernstein). — Il r´ esulte de la Proposition 2.3 que lorsque n
tend vers l’infini, on a :
P
S n − n
√
n
≤ 0
→
0
−∞
1
√
2π
e
−x
2 /2 dx =
1
2
,
c’est-` a-dire que
P{S n ≤ n} = e
−n
n
k=0
n
k
k!
→
1
2
(n → ∞).
(On remarquera que ce dernier passage `
a la limite n’est pas ais´ e ` a ´ etablir
sans faire appel au th´ eor` eme central limit .)
Remarque 2. — La Proposition 2.3 peut ˆ etre ´ etendue au cas d’une famille
(X λ ) (λ > 0) de variables al´ eatoires, o` u le terme g´ en´ eral X λ suit la loi de
Poisson π λ de param` etre λ. On peut montrer directement (cf. Exercice 1) que,
lorsque λ tend vers l’infini, (X λ − λ)/
√
λ converge en loi vers une variable
al´ eatoire de loi N (0, 1), de sorte que, pour λ grand , la loi de Poisson π λ
peut ˆ etre approch´ ee par la loi normale N (λ,
√
λ).
Cas particulier 3. — Prenons pour loi commune des X n la loi exponentielle
E(λ), de param` etre λ > 0. Alors S n suit la loi gamma Γ(n, λ) ; on a
E[S n ] = n/λ, Var S n = n/λ
2 , et le Th´ eor` eme 2.1 affirme :
Proposition 2.4. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n =
S n − n/λ
√
n/λ
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
Il en r´ esulte que, pour n grand , la loi gamma Γ(n, λ) peut ˆ etre approch´ ee
par la loi normale N (n/λ,
√
n/λ).
Remarque. — La Proposition 2.4 peut ˆ etre ´ etendue au cas d’une famille
(X p ) (p > 0) de variables al´ eatoires, o` u le terme g´ en´ eral X p suit la loi gamma
Γ(p, λ), avec λ > 0 fix´ e. On peut montrer directement (cf. Exercice 2) que,
lorsque p tend vers l’infini, λ restant fix´ e, la variable al´ eatoire
X p − p/λ
√ p/λ
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), de sorte que, pour p
grand , la loi Γ(p, λ) peut ˆ etre approch´ ee par la loi normale N (p/λ,
√ p/λ).
CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
Il en r´ esulte que, pour n grand la loi binomiale B(n, p) peut ˆ etre
approch´ ee par la loi normale N (np,
√ npq).
Cas particulier 2. — Prenons pour loi commune des X n la loi de Poisson
π 1 , de param` etre 1. Alors S n suit la loi de Poisson π n de param` etre n ; on a
E[S n ] = n, Var S n = n, et le Th´ eor` eme 2.1 affirme :
Proposition 2.3. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n = (S n − n)/
√
n converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
Il en r´ esulte que, pour n grand , la loi de Poisson π n peut ˆ etre approch´ ee
par la loi normale N (n,
√
n).
Remarque 1 (Bernstein). — Il r´ esulte de la Proposition 2.3 que lorsque n
tend vers l’infini, on a :
P
S n − n
√
n
≤ 0
→
0
−∞
1
√
2π
e
−x
2 /2 dx =
1
2
,
c’est-` a-dire que
P{S n ≤ n} = e
−n
n
k=0
n
k
k!
→
1
2
(n → ∞).
(On remarquera que ce dernier passage `
a la limite n’est pas ais´ e ` a ´ etablir
sans faire appel au th´ eor` eme central limit .)
Remarque 2. — La Proposition 2.3 peut ˆ etre ´ etendue au cas d’une famille
(X λ ) (λ > 0) de variables al´ eatoires, o` u le terme g´ en´ eral X λ suit la loi de
Poisson π λ de param` etre λ. On peut montrer directement (cf. Exercice 1) que,
lorsque λ tend vers l’infini, (X λ − λ)/
√
λ converge en loi vers une variable
al´ eatoire de loi N (0, 1), de sorte que, pour λ grand , la loi de Poisson π λ
peut ˆ etre approch´ ee par la loi normale N (λ,
√
λ).
Cas particulier 3. — Prenons pour loi commune des X n la loi exponentielle
E(λ), de param` etre λ > 0. Alors S n suit la loi gamma Γ(n, λ) ; on a
E[S n ] = n/λ, Var S n = n/λ
2 , et le Th´ eor` eme 2.1 affirme :
Proposition 2.4. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n =
S n − n/λ
√
n/λ
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).
Il en r´ esulte que, pour n grand , la loi gamma Γ(n, λ) peut ˆ etre approch´ ee
par la loi normale N (n/λ,
√
n/λ).
Remarque. — La Proposition 2.4 peut ˆ etre ´ etendue au cas d’une famille
(X p ) (p > 0) de variables al´ eatoires, o` u le terme g´ en´ eral X p suit la loi gamma
Γ(p, λ), avec λ > 0 fix´ e. On peut montrer directement (cf. Exercice 2) que,
lorsque p tend vers l’infini, λ restant fix´ e, la variable al´ eatoire
X p − p/λ
√ p/λ
converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), de sorte que, pour p
grand , la loi Γ(p, λ) peut ˆ etre approch´ ee par la loi normale N (p/λ,
√ p/λ).