2. LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
241
a d´ esign´ e ce th´ eor` eme par le nom de zentraler Grenzwertsatz,
5 traduit en
anglais par central limit theorem et en franglais par th´ eor` eme central
limite . Nous n’utiliserons pas cette derni` ere traduction.
Th´ eor` eme 2.1 (Lindeberg-L´ evy, 1920). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une
suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, de L
2 .
Posons :
µ = E[X 1 ],
σ
2 = Var X 1 (0 < σ < +∞) ;
S n = X 1 + · · · + X n ,
X n =
S n
n
,
Y n =
S n − nµ
σ
√
n
=
X n − µ
σ/
√
n
.
Alors la suite (Y n ) (n ≥ 1) converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi
N (0, 1), c’est-` a-dire que pour tout r´ eel x on a :
P{Y n ≤ x} →
x
−∞
1
√
2π
e
−u
2 /2 du
(n → +∞).
D´ emonstration. — D´ esignons par ϕ la fonction caract´ eristique de X 1 − µ ;
cette variable al´ eatoire ´ etant centr´ ee, de L
2 , la formule de Taylor jusqu’` a
l’ordre deux de ϕ(t) au voisinage de t = 0 fournit (cf. Proposition 5.3,
chap. 13)
ϕ(t) = 1 −
t
2
2
σ
2 + o(t
2 )
(t → 0).
Or
Y n =
n
k=1
X k − µ
σ
√
n
,
d’o` u
ϕ Y n
(t) =
ϕ
t
σ
√
n
n
=
1 −
t
2
2n
+ o
t
2
n
n → e
−t
2 /2 ;
ce qui ´ etablit le r´ esultat en vertu du th´ eor` eme de Paul L´ evy.
Remarque. — L’importance du Th´ eor` eme 2.1 r´ eside dans le fait que
pour n grand les lois de probabilit´ e (en g´ en´ eral compliqu´ ees) de S n , X n
peuvent ˆ etre approch´ ees par les lois normales N (nµ, σ
√
n), N (µ, σ/
√
n). Le
Th´ eor` eme 2.1 comporte un certain nombre de cas particuliers que nous allons
examiner.
Cas particulier 1 (de Moivre-Laplace). — Prenons pour loi commune des
X n la loi de Bernoulli pε 1 + qε 0 (p, q > 0, p + q = 1). Alors S n suit la
loi binomiale B(n, p). On a E[S n ] = np, Var S n = npq, et le Th´ eor` eme 2.1
affirme :
Proposition 2.2. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n = (S n − np)/
√ npq converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi
N (0, 1).
5 Poly` a (G.). — ¨
Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
das Momentenproblem, Math. Z., t. 8 (1920), p. 171–181.
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
241
a d´ esign´ e ce th´ eor` eme par le nom de zentraler Grenzwertsatz,
5 traduit en
anglais par central limit theorem et en franglais par th´ eor` eme central
limite . Nous n’utiliserons pas cette derni` ere traduction.
Th´ eor` eme 2.1 (Lindeberg-L´ evy, 1920). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une
suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, de L
2 .
Posons :
µ = E[X 1 ],
σ
2 = Var X 1 (0 < σ < +∞) ;
S n = X 1 + · · · + X n ,
X n =
S n
n
,
Y n =
S n − nµ
σ
√
n
=
X n − µ
σ/
√
n
.
Alors la suite (Y n ) (n ≥ 1) converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi
N (0, 1), c’est-` a-dire que pour tout r´ eel x on a :
P{Y n ≤ x} →
x
−∞
1
√
2π
e
−u
2 /2 du
(n → +∞).
D´ emonstration. — D´ esignons par ϕ la fonction caract´ eristique de X 1 − µ ;
cette variable al´ eatoire ´ etant centr´ ee, de L
2 , la formule de Taylor jusqu’` a
l’ordre deux de ϕ(t) au voisinage de t = 0 fournit (cf. Proposition 5.3,
chap. 13)
ϕ(t) = 1 −
t
2
2
σ
2 + o(t
2 )
(t → 0).
Or
Y n =
n
k=1
X k − µ
σ
√
n
,
d’o` u
ϕ Y n
(t) =
ϕ
t
σ
√
n
n
=
1 −
t
2
2n
+ o
t
2
n
n → e
−t
2 /2 ;
ce qui ´ etablit le r´ esultat en vertu du th´ eor` eme de Paul L´ evy.
Remarque. — L’importance du Th´ eor` eme 2.1 r´ eside dans le fait que
pour n grand les lois de probabilit´ e (en g´ en´ eral compliqu´ ees) de S n , X n
peuvent ˆ etre approch´ ees par les lois normales N (nµ, σ
√
n), N (µ, σ/
√
n). Le
Th´ eor` eme 2.1 comporte un certain nombre de cas particuliers que nous allons
examiner.
Cas particulier 1 (de Moivre-Laplace). — Prenons pour loi commune des
X n la loi de Bernoulli pε 1 + qε 0 (p, q > 0, p + q = 1). Alors S n suit la
loi binomiale B(n, p). On a E[S n ] = np, Var S n = npq, et le Th´ eor` eme 2.1
affirme :
Proposition 2.2. — La suite des variables al´ eatoires de terme g´ en´ eral
Y n = (S n − np)/
√ npq converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi
N (0, 1).
5 Poly` a (G.). — ¨
Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
das Momentenproblem, Math. Z., t. 8 (1920), p. 171–181.