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CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
o` u ε k (t) → 0 pour t → 0. On a ensuite (cf. Th´ eor` eme 5.1, chap. 13)
ψ Y n (t) =
n
k=1
ψ k
t
σ(S n )
= −
t
2
2
−
t
2
2
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
ε k
σ k
σ(S n )
t
= −
t
2
2
−
t
2
2
R n .
Pour que (Y n ) converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), il
faut et il suffit que ψ Y n (t) → −t
2 /2, pour tout r´ eel t, c’est-` a-dire que R n
tende vers 0, pour tout t, lorsque n tend vers l’infini. Il en est bien ainsi si
les deux propri´ et´ es suivantes sont satisfaites :
1) sup
k=1,...,n
σ k
σ(S n )
→ 0
(n → ∞),
c’est-` a-dire le plus grand des ´ ecarts-types individuels est n´ egligeable devant
l’´ ecart-type de la somme S n .
2) Lorsque t tend vers 0, les ε k (t) convergent vers 0 uniform´ ement en k,
c’est-` a-dire pour tout ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que pour tout t satisfaisant
|t| < δ(ε), on a pour tout k ≥ 1 l’in´ egalit´ e |ε k (t)| < ε.
En effet, soit t un r´ eel non nul. Prenons N 0 assez grand pour que pour
tout n ≥ N 0 on ait sup
k=1,...,n
σ k
σ(S n )
≤
δ(ε)
|t|
. On aura alors, pour tout n ≥ N 0
et tout k = 1, . . . , n, les in´ egalit´ es
σ k
σ(S n )
|t| ≤ δ(ε),
ε k
σ k
σ(S n )
t
< ε,
d’o` u
R n =
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
ε k
σ k
σ(S n )
t
≤ ε
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
= ε.
Laplace avait bien vu l’importance de la condition 1) pour assurer la
convergence de la loi des Y n vers N (0, 1) et il s’´ etait rendu compte que
s’il y avait une erreur disproportionn´ ee par rapport aux autres, cette erreur
ferait pr´ evaloir sa loi. Cependant, G. Darmois,
4 ` a qui nous devons cette
analyse, a fait remarquer que Laplace n’avait pas vu que la condition 1)
n’´ etait pas suffisante, et qu’il fallait lui en adjoindre une autre, par exemple,
la condition 2).
2. Le th´ eor` eme central limit . — Nous allons ´ etudier dans ce
paragraphe la tendance d’une suite de variables al´ eatoires vers une variable
al´ eatoire normale et nous allons ´ etablir quelques th´ eor` emes fournissant des
conditions suffisantes pour que cette tendance ait lieu. Tout th´ eor` eme de ce
type porte le nom de th´ eor` eme central limit . C’est Poly` a qui, en 1920,
4 Darmois (G.). — Cours de calcul des probabilit´ es. — Paris, Cours polycopi´ e, .
CHAPITRE 18 : LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
o` u ε k (t) → 0 pour t → 0. On a ensuite (cf. Th´ eor` eme 5.1, chap. 13)
ψ Y n (t) =
n
k=1
ψ k
t
σ(S n )
= −
t
2
2
−
t
2
2
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
ε k
σ k
σ(S n )
t
= −
t
2
2
−
t
2
2
R n .
Pour que (Y n ) converge en loi vers une variable al´ eatoire de loi N (0, 1), il
faut et il suffit que ψ Y n (t) → −t
2 /2, pour tout r´ eel t, c’est-` a-dire que R n
tende vers 0, pour tout t, lorsque n tend vers l’infini. Il en est bien ainsi si
les deux propri´ et´ es suivantes sont satisfaites :
1) sup
k=1,...,n
σ k
σ(S n )
→ 0
(n → ∞),
c’est-` a-dire le plus grand des ´ ecarts-types individuels est n´ egligeable devant
l’´ ecart-type de la somme S n .
2) Lorsque t tend vers 0, les ε k (t) convergent vers 0 uniform´ ement en k,
c’est-` a-dire pour tout ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que pour tout t satisfaisant
|t| < δ(ε), on a pour tout k ≥ 1 l’in´ egalit´ e |ε k (t)| < ε.
En effet, soit t un r´ eel non nul. Prenons N 0 assez grand pour que pour
tout n ≥ N 0 on ait sup
k=1,...,n
σ k
σ(S n )
≤
δ(ε)
|t|
. On aura alors, pour tout n ≥ N 0
et tout k = 1, . . . , n, les in´ egalit´ es
σ k
σ(S n )
|t| ≤ δ(ε),
ε k
σ k
σ(S n )
t
< ε,
d’o` u
R n =
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
ε k
σ k
σ(S n )
t
≤ ε
n
k=1
σ k
σ(S n )
2
= ε.
Laplace avait bien vu l’importance de la condition 1) pour assurer la
convergence de la loi des Y n vers N (0, 1) et il s’´ etait rendu compte que
s’il y avait une erreur disproportionn´ ee par rapport aux autres, cette erreur
ferait pr´ evaloir sa loi. Cependant, G. Darmois,
4 ` a qui nous devons cette
analyse, a fait remarquer que Laplace n’avait pas vu que la condition 1)
n’´ etait pas suffisante, et qu’il fallait lui en adjoindre une autre, par exemple,
la condition 2).
2. Le th´ eor` eme central limit . — Nous allons ´ etudier dans ce
paragraphe la tendance d’une suite de variables al´ eatoires vers une variable
al´ eatoire normale et nous allons ´ etablir quelques th´ eor` emes fournissant des
conditions suffisantes pour que cette tendance ait lieu. Tout th´ eor` eme de ce
type porte le nom de th´ eor` eme central limit . C’est Poly` a qui, en 1920,
4 Darmois (G.). — Cours de calcul des probabilit´ es. — Paris, Cours polycopi´ e, .