12
CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
D´ emonstration. — La premi` ere partie de la proposition est ´ evidente. Pour
la seconde partie, consid´ erons une alg` ebre monotone A et une suite (A n )
(n = 1, 2, . . . ) d’´ el´ ements de A. Alors toute r´ eunion finie B n =
n
i=1 A i est
dans A, par l’axiome (A2). Comme B n ↑
∞
i=1 A i , on a aussi
∞
i=1 A i ∈ A,
puisque A est aussi une classe monotone.
La proposition suivante joue pour les classes monotones le rˆ ole jou´ e par la
Proposition 3.2 pour les syst` emes de Dynkin.
Proposition 4.2. — Si A est une alg` ebre, on a :
T(A) = M(A).
De l` a, si une classe monotone contient une alg` ebre A, elle contient aussi la
tribu T(A) engendr´ ee par A.
D´ emonstration. — D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, il suffit de d´ emontrer que M = M(A) est une tribu. Formons pour tout A ∈ M tel que A
c
∈ M
la classe K(A) de tous les sous-ensembles B tels que B
c
∈ M et A ∪ B ∈ M.
Une telle classe est non vide, puisque A en fait partie. D’autre part, si B et
B
c sont dans M, alors les relations B ∈ K(A) et A ∈ K(B) sont ´ equivalentes.
Montrons que K(A) est une classe monotone. Pour cela, prenons une suite
monotone (B n ) d’´ el´ ements de K(A). Alors (lim n B n )
c = lim n B n
c
∈ M et
A ∪ lim n B n = lim n A ∪ B n ∈ M.
D’autre part, comme on a l’inclusion A ⊂ M et que A est une alg` ebre, le
compl´ ementaire A
c est dans M, d` es que A est dans A. Il s’ensuit que la classe
K(A) contient A, puisque B
c et A ∪ B sont dans A, donc dans M. Comme
M est la classe engendr´ ee par A, on a donc l’inclusion M ⊂ K(A).
Pour tout B ∈ M, on a B
c
∈ M. On peut donc former la classe monotone
K(B). Pout tout A ∈ A, il vient B ∈ K(A) et par suite aussi A ∈ K(B). D’o` u
A ⊂ K(B) et M ⊂ K(B). Cette inclusion, ´ etant vraie pour tout B ∈ M,
implique que M satisfait les axiomes (A2) et (A3). C’est donc une alg` ebre
monotone, donc une tribu.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Comment peut-on introduire la notion d’alg` ebre engendr´ ee par une
classe de parties ?
2. — On consid` ere l’ensemble ` a trois ´ el´ ements Ω = {a, b, c}. D´ eterminer
la tribu engendr´ ee par la partie {a, b}.
3. — Soit Ω un ensemble de cinq ´ el´ ements not´ es a, b, c, d, e. On consid` ere
les deux familles F 1 , F 2 de parties de Ω : F 1 = {∅, {a }, {b, c, d, e }, Ω } et
F 2 = {∅, {a }, {b }, {a, b }, {c, d, e }, {a, c, d, e }, {b, c, d, e }, Ω }.
CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
D´ emonstration. — La premi` ere partie de la proposition est ´ evidente. Pour
la seconde partie, consid´ erons une alg` ebre monotone A et une suite (A n )
(n = 1, 2, . . . ) d’´ el´ ements de A. Alors toute r´ eunion finie B n =
n
i=1 A i est
dans A, par l’axiome (A2). Comme B n ↑
∞
i=1 A i , on a aussi
∞
i=1 A i ∈ A,
puisque A est aussi une classe monotone.
La proposition suivante joue pour les classes monotones le rˆ ole jou´ e par la
Proposition 3.2 pour les syst` emes de Dynkin.
Proposition 4.2. — Si A est une alg` ebre, on a :
T(A) = M(A).
De l` a, si une classe monotone contient une alg` ebre A, elle contient aussi la
tribu T(A) engendr´ ee par A.
D´ emonstration. — D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, il suffit de d´ emontrer que M = M(A) est une tribu. Formons pour tout A ∈ M tel que A
c
∈ M
la classe K(A) de tous les sous-ensembles B tels que B
c
∈ M et A ∪ B ∈ M.
Une telle classe est non vide, puisque A en fait partie. D’autre part, si B et
B
c sont dans M, alors les relations B ∈ K(A) et A ∈ K(B) sont ´ equivalentes.
Montrons que K(A) est une classe monotone. Pour cela, prenons une suite
monotone (B n ) d’´ el´ ements de K(A). Alors (lim n B n )
c = lim n B n
c
∈ M et
A ∪ lim n B n = lim n A ∪ B n ∈ M.
D’autre part, comme on a l’inclusion A ⊂ M et que A est une alg` ebre, le
compl´ ementaire A
c est dans M, d` es que A est dans A. Il s’ensuit que la classe
K(A) contient A, puisque B
c et A ∪ B sont dans A, donc dans M. Comme
M est la classe engendr´ ee par A, on a donc l’inclusion M ⊂ K(A).
Pour tout B ∈ M, on a B
c
∈ M. On peut donc former la classe monotone
K(B). Pout tout A ∈ A, il vient B ∈ K(A) et par suite aussi A ∈ K(B). D’o` u
A ⊂ K(B) et M ⊂ K(B). Cette inclusion, ´ etant vraie pour tout B ∈ M,
implique que M satisfait les axiomes (A2) et (A3). C’est donc une alg` ebre
monotone, donc une tribu.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Comment peut-on introduire la notion d’alg` ebre engendr´ ee par une
classe de parties ?
2. — On consid` ere l’ensemble ` a trois ´ el´ ements Ω = {a, b, c}. D´ eterminer
la tribu engendr´ ee par la partie {a, b}.
3. — Soit Ω un ensemble de cinq ´ el´ ements not´ es a, b, c, d, e. On consid` ere
les deux familles F 1 , F 2 de parties de Ω : F 1 = {∅, {a }, {b, c, d, e }, Ω } et
F 2 = {∅, {a }, {b }, {a, b }, {c, d, e }, {a, c, d, e }, {b, c, d, e }, Ω }.