4. LES CLASSES MONOTONES
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Si maintenant (A n ) est une suite d’´ el´ ements de D, toutes les r´ eunions finies
B n = A 1 ∪· · ·∪A n sont aussi dans D. On peut alors ´ ecrire, en posant B 0 = ∅,
∞
n=1
A n =
∞
n=1
(A n \ B n−1 ),
ce qui montre bien que la r´ eunion (d´ enombrable) est encore dans D.
Comme pour les tribus, on se convainc qu’´ etant donn´ e une classe de parties
C, il existe un syst` eme de Dynkin unique, contenant C et contenu dans tout
syst` eme de Dynkin contenant C. On l’appelle le syst` eme de Dynkin engendr´ e
par C et on le note D(C).
Proposition 3.2. — Soit C un ensemble de parties de Ω stable par
intersection finie. Alors
D(C) = T(C).
D´ emonstration. — Comme toute tribu est un syst` eme de Dynkin, on a
d´ ej` a l’inclusion D(C) ⊂ T(C). Pour prouver l’inclusion inverse, il suffit de
montrer que D(C) est aussi une tribu. D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, il
suffit mˆ eme de montrer que D(C) est lui-mˆ eme stable par intersection finie.
Prenons un ´ el´ ement A de D(C) et formons l’ensemble, not´ e I(A), de toutes
les parties B de Ω telles que B ∩ A ∈ D(C). La classe I(A) est un syst` eme
de Dynkin, car elle contient Ω et elle est stable par diff´ erence propre et par
r´ eunion d´ enombrable disjointe. Or si E est dans C, on a F ∩ E ∈ C pour
tout F ∈ C ; d’o` u C ⊂ I(E) et D(C) ⊂ I(E) pour tout E ∈ C. La derni` ere
inclusion se traduit encore par : pour tout A ∈ D(C) et tout E ∈ C, on a
A ∩ E ∈ D(C). Il en r´ esulte l’inclusion C ⊂ I(A) et D(C) ⊂ I(A) pour tout
A ∈ D(C). Ceci entraˆ ıne bien que D(C) est stable par intersection finie.
4. Les classes monotones. — Ce sont des outils techniques comme
les syst` emes de Dynkin. Pour la compr´ ehension de cet ouvrage, on peut se
contenter de la lecture de la d´ efinition et des deux propositions suivantes.
D´ efinition. — Une classe non vide M de sous-ensembles de Ω est dite
monotone si, pour toute suite monotone (A n ) d’´ el´ ements de M (c’est-` adire pour toute suite croissante ou d´ ecroissante d’´ el´ ements de M), on a
lim n A n ∈ M (on dit encore que M est stable par passage ` a la limite
monotone.)
Comme pour les tribus et les syst` emes de Dynkin, on v´ erifie que toute
intersection de classes monotones est encore une classe monotone et qu’´ etant
donn´ ee une classe C de parties de Ω, il existe une et une seule classe monotone
contenant C et contenue dans toute classe monotone contenant C. On l’appelle
classe monotone engendr´ ee par C et on la note M(C).
Proposition 4.1. — Toute tribu est une classe monotone. Toute alg` ebre
monotone est une tribu.
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Si maintenant (A n ) est une suite d’´ el´ ements de D, toutes les r´ eunions finies
B n = A 1 ∪· · ·∪A n sont aussi dans D. On peut alors ´ ecrire, en posant B 0 = ∅,
∞
n=1
A n =
∞
n=1
(A n \ B n−1 ),
ce qui montre bien que la r´ eunion (d´ enombrable) est encore dans D.
Comme pour les tribus, on se convainc qu’´ etant donn´ e une classe de parties
C, il existe un syst` eme de Dynkin unique, contenant C et contenu dans tout
syst` eme de Dynkin contenant C. On l’appelle le syst` eme de Dynkin engendr´ e
par C et on le note D(C).
Proposition 3.2. — Soit C un ensemble de parties de Ω stable par
intersection finie. Alors
D(C) = T(C).
D´ emonstration. — Comme toute tribu est un syst` eme de Dynkin, on a
d´ ej` a l’inclusion D(C) ⊂ T(C). Pour prouver l’inclusion inverse, il suffit de
montrer que D(C) est aussi une tribu. D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, il
suffit mˆ eme de montrer que D(C) est lui-mˆ eme stable par intersection finie.
Prenons un ´ el´ ement A de D(C) et formons l’ensemble, not´ e I(A), de toutes
les parties B de Ω telles que B ∩ A ∈ D(C). La classe I(A) est un syst` eme
de Dynkin, car elle contient Ω et elle est stable par diff´ erence propre et par
r´ eunion d´ enombrable disjointe. Or si E est dans C, on a F ∩ E ∈ C pour
tout F ∈ C ; d’o` u C ⊂ I(E) et D(C) ⊂ I(E) pour tout E ∈ C. La derni` ere
inclusion se traduit encore par : pour tout A ∈ D(C) et tout E ∈ C, on a
A ∩ E ∈ D(C). Il en r´ esulte l’inclusion C ⊂ I(A) et D(C) ⊂ I(A) pour tout
A ∈ D(C). Ceci entraˆ ıne bien que D(C) est stable par intersection finie.
4. Les classes monotones. — Ce sont des outils techniques comme
les syst` emes de Dynkin. Pour la compr´ ehension de cet ouvrage, on peut se
contenter de la lecture de la d´ efinition et des deux propositions suivantes.
D´ efinition. — Une classe non vide M de sous-ensembles de Ω est dite
monotone si, pour toute suite monotone (A n ) d’´ el´ ements de M (c’est-` adire pour toute suite croissante ou d´ ecroissante d’´ el´ ements de M), on a
lim n A n ∈ M (on dit encore que M est stable par passage ` a la limite
monotone.)
Comme pour les tribus et les syst` emes de Dynkin, on v´ erifie que toute
intersection de classes monotones est encore une classe monotone et qu’´ etant
donn´ ee une classe C de parties de Ω, il existe une et une seule classe monotone
contenant C et contenue dans toute classe monotone contenant C. On l’appelle
classe monotone engendr´ ee par C et on la note M(C).
Proposition 4.1. — Toute tribu est une classe monotone. Toute alg` ebre
monotone est une tribu.