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CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
Comme on peut le v´ erifier (cf. exercice 6), la tribu bor´ elienne peut ˆ etre
engendr´ ee par beaucoup d’autres classes de sous-ensembles de R.
D´ efinition. — On appelle tribu bor´ elienne de R
n la tribu, not´ ee B
n ,
engendr´ ee par les pav´ es ferm´ es
{(x 1 , x 2 , . . . , x n ) : a i ≤ x i ≤ b i , i = 1, 2, . . . , n}.
D´ efinition. — On appelle espace probabilisable (ou espace mesurable) tout
couple (Ω, A) form´ e d’un ensemble non vide Ω et d’une tribu A de parties de
Ω. Les ´ el´ ements de A sont appel´ es ´ ev` enements.
Exemples
1) Le couple (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable. C’est l’espace
probabilisable qu’on associe toujours `
a Ω, lorsque Ω est au plus d´ enombrable.
2) Le couple (R
n , B
n ) est un espace probabilisable.
3. Les syst` emes de Dynkin. — Avec les syst` emes de Dynkin, on dispose
d’un nouvel outil pour d´ emontrer qu’une classe de parties est une tribu.
Comme indiqu´ e dans la Proposition 3.1, il suffit de partir d’un syst` eme de
Dynkin et de s’assurer qu’il est stable par intersection finie. Les syst` emes
de Dynkin seront essentiellement utilis´ es dans l’´ etude de l’ind´ ependance des
classes d’´ ev` enements. Pour une premi` ere lecture, on peut se contenter de lire
la d´ efinition et les ´ enonc´ es des deux propositions suivantes.
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et D une classe de parties
de Ω. On dit que D est un syst` eme de Dynkin, s’il satisfait aux axiomes
suivants :
(D1) Ω ∈ D ;
(D2) A ∈ D, B ∈ D, A ⊃ B ⇒ A \ B ∈ D ;
(D3) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements de D, disjoints deux
` a deux, alors la r´ eunion (disjointe)
∞
n=1 A n est aussi dans D.
On peut encore dire qu’un syst` eme de Dynkin de Ω est une classe de
parties, qui contient l’´ el´ ement Ω et qui est stable par diff´ erence propre et par
r´ eunion d´ enombrable disjointe.
Proposition 3.1. — Une tribu est toujours un syst` eme de Dynkin. Pour
qu’un syst` eme de Dynkin D soit une tribu, il faut et il suffit qu’il soit aussi
stable par intersection finie, c’est-` a-dire qu’il satisfasse encore `
a l’axiome :
(I f ) A ∈ D, B ∈ D ⇒ A ∩ B ∈ D.
D´ emonstration. — La premi` ere partie de la proposition est ´ evidente.
Il suffit donc de d´ emontrer qu’un syst` eme de Dynkin qui est stable par
intersection finie est aussi une tribu. Partons d’un tel syst` eme D. D’abord,
les axiomes (T1) et (T3) sont v´ erifi´ es, puisqu’en particulier A
c = Ω \ A.
D’autre part, D est stable par r´ eunion finie, puisque si A et B sont dans D,
l’intersection A∩B et la diff´ erence propre A\A∩B le sont aussi, donc encore
la r´ eunion disjointe :
A ∪ B =
A \ (A ∩ B)
+ B.
CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
Comme on peut le v´ erifier (cf. exercice 6), la tribu bor´ elienne peut ˆ etre
engendr´ ee par beaucoup d’autres classes de sous-ensembles de R.
D´ efinition. — On appelle tribu bor´ elienne de R
n la tribu, not´ ee B
n ,
engendr´ ee par les pav´ es ferm´ es
{(x 1 , x 2 , . . . , x n ) : a i ≤ x i ≤ b i , i = 1, 2, . . . , n}.
D´ efinition. — On appelle espace probabilisable (ou espace mesurable) tout
couple (Ω, A) form´ e d’un ensemble non vide Ω et d’une tribu A de parties de
Ω. Les ´ el´ ements de A sont appel´ es ´ ev` enements.
Exemples
1) Le couple (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable. C’est l’espace
probabilisable qu’on associe toujours `
a Ω, lorsque Ω est au plus d´ enombrable.
2) Le couple (R
n , B
n ) est un espace probabilisable.
3. Les syst` emes de Dynkin. — Avec les syst` emes de Dynkin, on dispose
d’un nouvel outil pour d´ emontrer qu’une classe de parties est une tribu.
Comme indiqu´ e dans la Proposition 3.1, il suffit de partir d’un syst` eme de
Dynkin et de s’assurer qu’il est stable par intersection finie. Les syst` emes
de Dynkin seront essentiellement utilis´ es dans l’´ etude de l’ind´ ependance des
classes d’´ ev` enements. Pour une premi` ere lecture, on peut se contenter de lire
la d´ efinition et les ´ enonc´ es des deux propositions suivantes.
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et D une classe de parties
de Ω. On dit que D est un syst` eme de Dynkin, s’il satisfait aux axiomes
suivants :
(D1) Ω ∈ D ;
(D2) A ∈ D, B ∈ D, A ⊃ B ⇒ A \ B ∈ D ;
(D3) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements de D, disjoints deux
` a deux, alors la r´ eunion (disjointe)
∞
n=1 A n est aussi dans D.
On peut encore dire qu’un syst` eme de Dynkin de Ω est une classe de
parties, qui contient l’´ el´ ement Ω et qui est stable par diff´ erence propre et par
r´ eunion d´ enombrable disjointe.
Proposition 3.1. — Une tribu est toujours un syst` eme de Dynkin. Pour
qu’un syst` eme de Dynkin D soit une tribu, il faut et il suffit qu’il soit aussi
stable par intersection finie, c’est-` a-dire qu’il satisfasse encore `
a l’axiome :
(I f ) A ∈ D, B ∈ D ⇒ A ∩ B ∈ D.
D´ emonstration. — La premi` ere partie de la proposition est ´ evidente.
Il suffit donc de d´ emontrer qu’un syst` eme de Dynkin qui est stable par
intersection finie est aussi une tribu. Partons d’un tel syst` eme D. D’abord,
les axiomes (T1) et (T3) sont v´ erifi´ es, puisqu’en particulier A
c = Ω \ A.
D’autre part, D est stable par r´ eunion finie, puisque si A et B sont dans D,
l’intersection A∩B et la diff´ erence propre A\A∩B le sont aussi, donc encore
la r´ eunion disjointe :
A ∪ B =
A \ (A ∩ B)
+ B.