2. LES TRIBUS
9
(T4) ∅ ∈ A ;
(T5) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements appartenant `
a A,
alors l’intersection
∞
n=1 A n est aussi dans A.
Remarque. — Une tribu A est aussi une alg` ebre. Il suffit, en effet, partant
de deux ´ el´ ements A et B de A, de former la suite A 1 = A, A 2 = B et A n = ∅
pour n ≥ 3. L’axiome (T2) entraˆ ıne que la r´ eunion A ∪ B =
∞
n=1 A n est
encore dans A. L’axiome (A2) est donc ainsi v´ erifi´ e.
Exemples. — Pour tout Ω non vide, le doubleton {Ω, ∅} et l’ensemble P(Ω)
de toutes les parties de Ω sont des tribus. On convient d’associer toujours
cette derni` ere tribu `
a Ω, lorsque ce dernier ensemble est fini ou d´ enombrable.
Contrairement au cas des alg` ebres (cf., par exemple, la Proposition 1.1),
il est plus difficile de donner une description explicite de tous les ´ el´ ements
appartenant `
a une tribu non triviale.
Proposition 2.1 (tribu engendr´ ee par une classe de parties). — Soit C
un ensemble de parties de Ω. Alors il existe une et une seule tribu T(C) ayant
les propri´ et´ es suivantes :
(i) T(C) ⊃ C ;
(ii) si T
est une tribu contenant C, alors elle contient aussi T(C).
La tribu T(C) est appel´ ee tribu engendr´ ee par C.
D´ emonstration. — V´ erifions tout d’abord que toute intersection d’une
famille non vide de tribus est encore une tribu. En effet, si (T i ) est une
famille non vide de tribus de Ω, l’ensemble Ω ´ etant dans chacune des tribus
est encore dans leur intersection
i T i . De mˆ eme, on v´ erifie que les axiomes
(T2) et (T3) ´ etant vrais pour chacune des tribus T i , sont encore satisfaits
pour l’intersection.
On remarque ensuite que la famille des tribus qui contiennent C n’est pas
vide, puisque P(Ω) en fait partie. On consid` ere alors l’intersection de toutes
les tribus qui contiennent C. C’est une tribu d’apr` es la premi` ere partie de
la d´ emonstration. Elle satisfait ensuite aux deux propri´ et´ es (i) et (ii) et par
construction elle est ´ evidemment unique.
Exemples
1) Si la classe C est elle-mˆ eme une tribu, alors la tribu engendr´ ee par C
est identique `
a C.
2) Soit A un sous-ensemble de Ω, alors la tribu engendr´ ee par la classe
{A}, r´ eduite au seul ´ el´ ement A, est {∅, A, A
c , Ω}.
3) Soient A et B deux sous-ensembles disjoints de Ω. La tribu engendr´ ee
par le doubleton {A, B} se compose des huit sous-ensembles (non n´ ecessairement distincts) : ∅, A, B, A + B, A
c , B
c , A
c
∩ B
c , Ω.
D´ efinition. — On appelle tribu bor´ elienne de la droite r´ eelle R, la tribu
engendr´ ee par la classe des intervalles ferm´ es born´ es { [a, b] : a ≤ b}. Cette
tribu est not´ ee B
1 . Ses ´ el´ ements sont appel´ es les bor´ eliens de la droite.
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(T4) ∅ ∈ A ;
(T5) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements appartenant `
a A,
alors l’intersection
∞
n=1 A n est aussi dans A.
Remarque. — Une tribu A est aussi une alg` ebre. Il suffit, en effet, partant
de deux ´ el´ ements A et B de A, de former la suite A 1 = A, A 2 = B et A n = ∅
pour n ≥ 3. L’axiome (T2) entraˆ ıne que la r´ eunion A ∪ B =
∞
n=1 A n est
encore dans A. L’axiome (A2) est donc ainsi v´ erifi´ e.
Exemples. — Pour tout Ω non vide, le doubleton {Ω, ∅} et l’ensemble P(Ω)
de toutes les parties de Ω sont des tribus. On convient d’associer toujours
cette derni` ere tribu `
a Ω, lorsque ce dernier ensemble est fini ou d´ enombrable.
Contrairement au cas des alg` ebres (cf., par exemple, la Proposition 1.1),
il est plus difficile de donner une description explicite de tous les ´ el´ ements
appartenant `
a une tribu non triviale.
Proposition 2.1 (tribu engendr´ ee par une classe de parties). — Soit C
un ensemble de parties de Ω. Alors il existe une et une seule tribu T(C) ayant
les propri´ et´ es suivantes :
(i) T(C) ⊃ C ;
(ii) si T
est une tribu contenant C, alors elle contient aussi T(C).
La tribu T(C) est appel´ ee tribu engendr´ ee par C.
D´ emonstration. — V´ erifions tout d’abord que toute intersection d’une
famille non vide de tribus est encore une tribu. En effet, si (T i ) est une
famille non vide de tribus de Ω, l’ensemble Ω ´ etant dans chacune des tribus
est encore dans leur intersection
i T i . De mˆ eme, on v´ erifie que les axiomes
(T2) et (T3) ´ etant vrais pour chacune des tribus T i , sont encore satisfaits
pour l’intersection.
On remarque ensuite que la famille des tribus qui contiennent C n’est pas
vide, puisque P(Ω) en fait partie. On consid` ere alors l’intersection de toutes
les tribus qui contiennent C. C’est une tribu d’apr` es la premi` ere partie de
la d´ emonstration. Elle satisfait ensuite aux deux propri´ et´ es (i) et (ii) et par
construction elle est ´ evidemment unique.
Exemples
1) Si la classe C est elle-mˆ eme une tribu, alors la tribu engendr´ ee par C
est identique `
a C.
2) Soit A un sous-ensemble de Ω, alors la tribu engendr´ ee par la classe
{A}, r´ eduite au seul ´ el´ ement A, est {∅, A, A
c , Ω}.
3) Soient A et B deux sous-ensembles disjoints de Ω. La tribu engendr´ ee
par le doubleton {A, B} se compose des huit sous-ensembles (non n´ ecessairement distincts) : ∅, A, B, A + B, A
c , B
c , A
c
∩ B
c , Ω.
D´ efinition. — On appelle tribu bor´ elienne de la droite r´ eelle R, la tribu
engendr´ ee par la classe des intervalles ferm´ es born´ es { [a, b] : a ≤ b}. Cette
tribu est not´ ee B
1 . Ses ´ el´ ements sont appel´ es les bor´ eliens de la droite.