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CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
De fa¸ con ´ equivalente, il est commode de dire qu’une classe A de sousensembles de Ω est une alg` ebre, si elle contient l’´ el´ ement Ω et si elle est
stable par r´ eunion finie et par passage au compl´ ementaire.
Un exemple d’alg` ebre est donn´ e par la classe des r´ eunions finies d’intervalles semi-ouverts de la droite, comme il est d´ ecrit de fa¸ con pr´ ecise dans
l’exemple suivant.
Exemple. — Soit P l’ensemble de tous les intervalles semi-ouverts de la
droite r´ eelle qui sont de la forme :
] − ∞, a
[ ;
[a, b[ ;
[a
, +∞[ ;
−∞ < a ≤ b < +∞ ;
−∞ < a
≤ +∞ ;
−∞ < a
< +∞.
Proposition 1.1. — La famille A de tous les sous-ensembles de R qui
sont des r´ eunions finies d’intervalles appartenant `
a P est une alg` ebre.
Pour d´ emontrer cette proposition, on v´ erifie tout d’abord (et de fa¸ con
imm´ ediate) les points suivants :
1) le compl´ ementaire d’un intervalle de P appartient `
a A ;
2) Ω = R =] − ∞, +∞[ et ∅ = [a, a[ appartiennent `
a A ;
3) la r´ eunion de deux ´ el´ ements de A appartient `
a A ;
4) l’intersection de deux intervalles de P appartient `
a A.
Il en r´ esulte que si A =
i I i et B =
j J j sont deux ´ el´ ements de A, leur
intersection A ∩ B =
i,j I i ∩ J j est encore un ´ el´ ement de A. Par cons´ equent,
le compl´ ementaire A
c =
i I i
c d’un ´ el´ ement A =
i I i de A appartient
encore ` a A.
Remarque. — On note que tout ´ el´ ement A de l’alg` ebre pr´ ec´ edente peut
toujours s’exprimer comme r´ eunion finie d’intervalles de P, disjoints deux `
a
deux.
2. Les tribus. — Dans la d´ efinition des tribus donn´ ee ci-apr` es, on reprend
les trois axiomes des alg` ebres, mais on modifie seulement le deuxi` eme. On ne
traite plus des seules r´ eunions finies, mais des r´ eunions d´ enombrables.
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et A un sous-ensemble
de P(Ω). On dit que A est une tribu (on dit encore σ-alg` ebre, σ-corps, corps
de Borel ), si A satisfait aux axiomes suivants :
(T1) Ω ∈ A ;
(T2) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements appartenant `
a A,
alors la r´ eunion
∞
n=1 A n appartient aussi `
a A ;
(T3) A ∈ A ⇒ A
c
∈ A.
On peut encore dire qu’une tribu est une classe de parties de Ω, qui
contient Ω et qui est stable par r´ eunion d´ enombrable et par passage au
compl´ ementaire.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont des cons´ equences imm´ ediates de ces
trois axiomes (cf. les v´ erifications pr´ ec´ edentes pour les propri´ et´ es concernant
l’alg` ebre) :
CHAPITRE 2 : LES ´
EV `
ENEMENTS
De fa¸ con ´ equivalente, il est commode de dire qu’une classe A de sousensembles de Ω est une alg` ebre, si elle contient l’´ el´ ement Ω et si elle est
stable par r´ eunion finie et par passage au compl´ ementaire.
Un exemple d’alg` ebre est donn´ e par la classe des r´ eunions finies d’intervalles semi-ouverts de la droite, comme il est d´ ecrit de fa¸ con pr´ ecise dans
l’exemple suivant.
Exemple. — Soit P l’ensemble de tous les intervalles semi-ouverts de la
droite r´ eelle qui sont de la forme :
] − ∞, a
[ ;
[a, b[ ;
[a
, +∞[ ;
−∞ < a ≤ b < +∞ ;
−∞ < a
≤ +∞ ;
−∞ < a
< +∞.
Proposition 1.1. — La famille A de tous les sous-ensembles de R qui
sont des r´ eunions finies d’intervalles appartenant `
a P est une alg` ebre.
Pour d´ emontrer cette proposition, on v´ erifie tout d’abord (et de fa¸ con
imm´ ediate) les points suivants :
1) le compl´ ementaire d’un intervalle de P appartient `
a A ;
2) Ω = R =] − ∞, +∞[ et ∅ = [a, a[ appartiennent `
a A ;
3) la r´ eunion de deux ´ el´ ements de A appartient `
a A ;
4) l’intersection de deux intervalles de P appartient `
a A.
Il en r´ esulte que si A =
i I i et B =
j J j sont deux ´ el´ ements de A, leur
intersection A ∩ B =
i,j I i ∩ J j est encore un ´ el´ ement de A. Par cons´ equent,
le compl´ ementaire A
c =
i I i
c d’un ´ el´ ement A =
i I i de A appartient
encore ` a A.
Remarque. — On note que tout ´ el´ ement A de l’alg` ebre pr´ ec´ edente peut
toujours s’exprimer comme r´ eunion finie d’intervalles de P, disjoints deux `
a
deux.
2. Les tribus. — Dans la d´ efinition des tribus donn´ ee ci-apr` es, on reprend
les trois axiomes des alg` ebres, mais on modifie seulement le deuxi` eme. On ne
traite plus des seules r´ eunions finies, mais des r´ eunions d´ enombrables.
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et A un sous-ensemble
de P(Ω). On dit que A est une tribu (on dit encore σ-alg` ebre, σ-corps, corps
de Borel ), si A satisfait aux axiomes suivants :
(T1) Ω ∈ A ;
(T2) si (A n ) (n = 1, 2, . . . ) est une suite d’´ el´ ements appartenant `
a A,
alors la r´ eunion
∞
n=1 A n appartient aussi `
a A ;
(T3) A ∈ A ⇒ A
c
∈ A.
On peut encore dire qu’une tribu est une classe de parties de Ω, qui
contient Ω et qui est stable par r´ eunion d´ enombrable et par passage au
compl´ ementaire.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont des cons´ equences imm´ ediates de ces
trois axiomes (cf. les v´ erifications pr´ ec´ edentes pour les propri´ et´ es concernant
l’alg` ebre) :