CHAPITRE 2
LES ´
EV `
ENEMENTS
Dans la construction du mod` ele probabiliste, on se donne un ensemble non
vide Ω et on cherche ` a remplir conjointement les deux conditions suivantes :
1) attribuer une probabilit´ e ` a tout sous-ensemble de Ω ;
2) respecter quelques r` egles de calcul simple, en premier lieu la r` egle d’additivit´ e.
Il se trouve que pour des raisons math´ ematiques (que l’on peut r´ esumer
en disant qu’il existe des sous-ensembles de Ω de nature extrˆ emement
compliqu´ ee) on ne peut satisfaire `
a ces deux exigences ` a la fois, du moins
lorsque Ω a la puissance du continu. L’id´ ee est alors de ne pas attribuer une
probabilit´ e ` a toute partie A ∈ P(Ω), mais seulement aux parties appartenant
` a une certaine classe A, en g´ en´ eral strictement contenue dans P(Ω). Si l’on
munit cette classe de quelques propri´ et´ es alg´ ebriques commodes, on peut
alors remplir la seconde condition. Ce sont les propri´ et´ es d’alg` ebre et de
tribu qui se sont av´ er´ ees les plus efficaces. Leurs axiomes et leurs propri´ et´ es
´ el´ ementaires sont donn´ es dans le pr´ esent chapitre.
Les syst` emes de Dynkin et les classes monotones, dont l’´ etude est aussi
abord´ ee ici, sont surtout des outils techniques.
1. Les alg` ebres
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et A un sous-ensemble
de P(Ω). On dit que A est une alg` ebre (de Boole), si A satisfait aux axiomes
suivants :
(A1) Ω ∈ A ;
(A2) A ∈ A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ;
(A3) A ∈ A ⇒ A
c
∈ A.
Cons´ equences
(A4) ∅ ∈ A ;
(A5) A ∈ A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A ;
(A6) A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ A ⇒
n
i=1 A i ∈ A et
n
i=1 A i ∈ A.
Ces trois propri´ et´ es sont des cons´ equences imm´ ediates des trois axiomes.
La propri´ et´ e (A4) d´ ecoule de (A1) et (A3), la propri´ et´ e (A5) de l’identit´ e
A ∩ B = (A
c
∪ B
c )
c , de (A2) et de (A3). Enfin, (A6) se d´ eduit de (A2) par
r´ ecurrence sur n.
LES ´
EV `
ENEMENTS
Dans la construction du mod` ele probabiliste, on se donne un ensemble non
vide Ω et on cherche ` a remplir conjointement les deux conditions suivantes :
1) attribuer une probabilit´ e ` a tout sous-ensemble de Ω ;
2) respecter quelques r` egles de calcul simple, en premier lieu la r` egle d’additivit´ e.
Il se trouve que pour des raisons math´ ematiques (que l’on peut r´ esumer
en disant qu’il existe des sous-ensembles de Ω de nature extrˆ emement
compliqu´ ee) on ne peut satisfaire `
a ces deux exigences ` a la fois, du moins
lorsque Ω a la puissance du continu. L’id´ ee est alors de ne pas attribuer une
probabilit´ e ` a toute partie A ∈ P(Ω), mais seulement aux parties appartenant
` a une certaine classe A, en g´ en´ eral strictement contenue dans P(Ω). Si l’on
munit cette classe de quelques propri´ et´ es alg´ ebriques commodes, on peut
alors remplir la seconde condition. Ce sont les propri´ et´ es d’alg` ebre et de
tribu qui se sont av´ er´ ees les plus efficaces. Leurs axiomes et leurs propri´ et´ es
´ el´ ementaires sont donn´ es dans le pr´ esent chapitre.
Les syst` emes de Dynkin et les classes monotones, dont l’´ etude est aussi
abord´ ee ici, sont surtout des outils techniques.
1. Les alg` ebres
D´ efinition. — Soient Ω un ensemble fondamental et A un sous-ensemble
de P(Ω). On dit que A est une alg` ebre (de Boole), si A satisfait aux axiomes
suivants :
(A1) Ω ∈ A ;
(A2) A ∈ A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ;
(A3) A ∈ A ⇒ A
c
∈ A.
Cons´ equences
(A4) ∅ ∈ A ;
(A5) A ∈ A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A ;
(A6) A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ A ⇒
n
i=1 A i ∈ A et
n
i=1 A i ∈ A.
Ces trois propri´ et´ es sont des cons´ equences imm´ ediates des trois axiomes.
La propri´ et´ e (A4) d´ ecoule de (A1) et (A3), la propri´ et´ e (A5) de l’identit´ e
A ∩ B = (A
c
∪ B
c )
c , de (A2) et de (A3). Enfin, (A6) se d´ eduit de (A2) par
r´ ecurrence sur n.