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CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
a) Interpr´ eter en fonction de A, B, C l’´ ev` enement le mari a plus de
quarante ans, mais non sa femme .
b) D´ ecrire en langage ordinaire les ´ ev` enements A ∩ B ∩ C
c , A \ (A ∩ B),
A ∩ B
c
∩ C, A ∪ B.
c) V´ erifier que A ∩ C
c
⊂ B.
3. — ´
Etant donn´ e une suite d’´ ev` enements (A i ) (i = 1, 2, . . . ), montrer
que l’on a
∞
i=1
A i =
∞
n=1
A n \
n−1
i=0
A i
,
o` u l’on pose A 0 = ∅. Ceci signifie que toute r´ eunion peut s’exprimer sous
forme de r´ eunion disjointe.
4. — Soient A et B deux ´ ev` enements et (A n ) une suite d’´ ev` enements
d´ efinis par A n = A ou B suivant que n est pair ou impair. Montrer que
lim inf n A n = A ∩ B
et
lim sup n A n = A ∪ B.
5. — Soient A, B avec ou sans indices des ´ ev` enements. V´ erifier les formules
concernant les indicatrices :
a) I Ω ≡ 1 ; I ∅ ≡ 0 ;
b) I A (ω) ≤ I B (ω) pour tout ω dans Ω si et seulement si A ⊂ B ;
c) I A∩B = I A I B ; I A∪B = I A + I B − I A∩B ;
d) I A c = 1 − I A ; I A\B = I A (1 − I B ).
e) Soient A ∗ = lim inf n A n et A
∗ = lim sup n A n . Alors
I A ∗ = lim inf n I A n
et
I A ∗ = lim sup n I A n .
6. — Soient trois ´ ev` enements E, F , G auxquels on associe les deux
´ ev` enements
A =
E ∪ F
∩ G,
B = E ∪
F ∩ G
.
a) Parmi les deux ´ ev` enements A, B, l’un entraˆ ıne l’autre ; lequel ?
b) Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante, portant sur E et G, pour
que l’on ait A = B.
7. — Etant donn´ e deux ´ ev` enements A, B, on d´ esigne par A B
l’´ ev` enement consistant en le fait que l’un exactement des ´ ev` enements A, B
se r´ ealise ; cet ´ ev` enement est appel´ e la diff´ erence sym´ etrique des ´ ev` enements
A, B. Donnons-nous trois ´ ev` enements A, B, C de Ω.
a) Montrer que : (A B) ∪ (A B
c ) = Ω.
b) Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante pour que l’on ait :
(A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C).
CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
a) Interpr´ eter en fonction de A, B, C l’´ ev` enement le mari a plus de
quarante ans, mais non sa femme .
b) D´ ecrire en langage ordinaire les ´ ev` enements A ∩ B ∩ C
c , A \ (A ∩ B),
A ∩ B
c
∩ C, A ∪ B.
c) V´ erifier que A ∩ C
c
⊂ B.
3. — ´
Etant donn´ e une suite d’´ ev` enements (A i ) (i = 1, 2, . . . ), montrer
que l’on a
∞
i=1
A i =
∞
n=1
A n \
n−1
i=0
A i
,
o` u l’on pose A 0 = ∅. Ceci signifie que toute r´ eunion peut s’exprimer sous
forme de r´ eunion disjointe.
4. — Soient A et B deux ´ ev` enements et (A n ) une suite d’´ ev` enements
d´ efinis par A n = A ou B suivant que n est pair ou impair. Montrer que
lim inf n A n = A ∩ B
et
lim sup n A n = A ∪ B.
5. — Soient A, B avec ou sans indices des ´ ev` enements. V´ erifier les formules
concernant les indicatrices :
a) I Ω ≡ 1 ; I ∅ ≡ 0 ;
b) I A (ω) ≤ I B (ω) pour tout ω dans Ω si et seulement si A ⊂ B ;
c) I A∩B = I A I B ; I A∪B = I A + I B − I A∩B ;
d) I A c = 1 − I A ; I A\B = I A (1 − I B ).
e) Soient A ∗ = lim inf n A n et A
∗ = lim sup n A n . Alors
I A ∗ = lim inf n I A n
et
I A ∗ = lim sup n I A n .
6. — Soient trois ´ ev` enements E, F , G auxquels on associe les deux
´ ev` enements
A =
E ∪ F
∩ G,
B = E ∪
F ∩ G
.
a) Parmi les deux ´ ev` enements A, B, l’un entraˆ ıne l’autre ; lequel ?
b) Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante, portant sur E et G, pour
que l’on ait A = B.
7. — Etant donn´ e deux ´ ev` enements A, B, on d´ esigne par A B
l’´ ev` enement consistant en le fait que l’un exactement des ´ ev` enements A, B
se r´ ealise ; cet ´ ev` enement est appel´ e la diff´ erence sym´ etrique des ´ ev` enements
A, B. Donnons-nous trois ´ ev` enements A, B, C de Ω.
a) Montrer que : (A B) ∪ (A B
c ) = Ω.
b) Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante pour que l’on ait :
(A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C).