COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
5
Proposition 3.2.2. — Lorsque la suite (A n ) est monotone, les relations
(3.2.2) sont v´ erifi´ ees.
D´ emonstration. — Si (A n ) est croissante, alors
∞
m=n A m = A n , d’o` u
lim inf n A n =
∞
n=1 A n = lim n A n . D’autre part, pour tout n ≥ 1, on a
∞
m=n A m =
∞
m=1 A m . D’o` u lim sup n A n =
∞
n=1
∞
m=n A m =
∞
m=1 A m =
lim n A n .
Comme la proposition est vraie pour les suites croissantes, elle est aussi
vraie pour les suites d´ ecroissantes, par application des relations (3.2.1).
Dans le langage des probabilit´ es, si l’on consid` ere les termes de la suite
(A n ) comme des ´ ev` enements, l’ensemble lim inf n A n est alors l’´ ev` enement
tous les A n se r´ ealisent apr` es un certain rang . De mˆ eme, lim sup n A n
est l’´ ev` enement il se produit une infinit´ e d’´ ev` enements A n . Ce dernier
´ ev` enement est souvent consid´ er´ e en calcul des probabilit´ es, en particulier dans la th´ eorie des ´ ev` enements r´ ecurrents. Les Anglo-saxons l’´ ecrivent
{A n , i.o.} ( i.o. signifie infinitely often , une infinit´ e de fois).
3.3. Indicatrice d’un ´ ev` enement. — Une fonction tr` es utilis´ ee est l’indicatrice I A d’un ´ ev` enement A. C’est une fonction sur Ω dans le doubleton {0, 1}
d´ efinie par :
I A (ω) =
1, si ω ∈ A ;
0, si ω /
∈ A.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soient A, B, C trois ´ ev` enements. Exprimer en fonction de A, B, C
et des op´ erations ensemblistes les ´ ev` enements ci-apr` es :
a) A seul se produit ;
b) A et C se produisent, mais non B ;
c) les trois ´ ev` enements se produisent ;
d) l’un au moins des ´ ev` enements se produit ;
e) deux ´ ev` enements au moins se produisent ;
f) un ´ ev` enement au plus se produit ;
g) aucun des trois ´ ev` enements ne se produit ;
h) deux ´ ev` enements exactement se produisent ;
i) pas plus de deux ´ ev` enements ne se produisent.
2. — Soit Ω l’ensemble des couples mari´ es d’une ville donn´ ee. On consid` ere
les ´ ev` enements :
A l’homme a plus de quarante ans ;
B la femme est plus jeune que l’homme ;
C la femme a plus de quarante ans .
EMENTS ET EXERCICES
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Proposition 3.2.2. — Lorsque la suite (A n ) est monotone, les relations
(3.2.2) sont v´ erifi´ ees.
D´ emonstration. — Si (A n ) est croissante, alors
∞
m=n A m = A n , d’o` u
lim inf n A n =
∞
n=1 A n = lim n A n . D’autre part, pour tout n ≥ 1, on a
∞
m=n A m =
∞
m=1 A m . D’o` u lim sup n A n =
∞
n=1
∞
m=n A m =
∞
m=1 A m =
lim n A n .
Comme la proposition est vraie pour les suites croissantes, elle est aussi
vraie pour les suites d´ ecroissantes, par application des relations (3.2.1).
Dans le langage des probabilit´ es, si l’on consid` ere les termes de la suite
(A n ) comme des ´ ev` enements, l’ensemble lim inf n A n est alors l’´ ev` enement
tous les A n se r´ ealisent apr` es un certain rang . De mˆ eme, lim sup n A n
est l’´ ev` enement il se produit une infinit´ e d’´ ev` enements A n . Ce dernier
´ ev` enement est souvent consid´ er´ e en calcul des probabilit´ es, en particulier dans la th´ eorie des ´ ev` enements r´ ecurrents. Les Anglo-saxons l’´ ecrivent
{A n , i.o.} ( i.o. signifie infinitely often , une infinit´ e de fois).
3.3. Indicatrice d’un ´ ev` enement. — Une fonction tr` es utilis´ ee est l’indicatrice I A d’un ´ ev` enement A. C’est une fonction sur Ω dans le doubleton {0, 1}
d´ efinie par :
I A (ω) =
1, si ω ∈ A ;
0, si ω /
∈ A.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soient A, B, C trois ´ ev` enements. Exprimer en fonction de A, B, C
et des op´ erations ensemblistes les ´ ev` enements ci-apr` es :
a) A seul se produit ;
b) A et C se produisent, mais non B ;
c) les trois ´ ev` enements se produisent ;
d) l’un au moins des ´ ev` enements se produit ;
e) deux ´ ev` enements au moins se produisent ;
f) un ´ ev` enement au plus se produit ;
g) aucun des trois ´ ev` enements ne se produit ;
h) deux ´ ev` enements exactement se produisent ;
i) pas plus de deux ´ ev` enements ne se produisent.
2. — Soit Ω l’ensemble des couples mari´ es d’une ville donn´ ee. On consid` ere
les ´ ev` enements :
A l’homme a plus de quarante ans ;
B la femme est plus jeune que l’homme ;
C la femme a plus de quarante ans .