4
CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
De mˆ eme, si la suite (A n ) est d´ ecroissante, `
a savoir si A n ⊃ A n+1 pour
tout n, l’intersection
n A n de la suite est encore appel´ ee la limite de la suite.
On ´ ecrit
n A n = lim n A n et A n ↓ lim n A n .
Lorsqu’une suite (A n ) est ou bien croissante, ou bien d´ ecroissante, on dit
qu’elle est monotone.
3.2. Limites inf´ erieure et sup´ erieure. — Une suite (A n ) d’´ ev` enements
´ etant donn´ ee, on peut toujours d´ efinir la limite inf´ erieure et la limite
sup´ erieure de cette suite. La limite inf´ erieure de la suite (A n ) est d´ efinie
comme l’ensemble, not´ e lim inf n A n , de tous les ´ el´ ements ω de Ω qui appartiennent ` a tous les A n sauf `
a un nombre fini d’entre eux.
De mˆ eme, la limite sup´ erieure de la suite (A n ) est l’ensemble, not´ e
lim sup n A n , de tous les ´ el´ ements ω de Ω qui appartiennent ` a A n pour une
infinit´ e d’indices n.
Exprimons les limites inf´ erieure et sup´ erieure en fonction des symboles
union et intersection.
Proposition 3.2.1. — Soit (A n ) une suite de parties d’un ensemble Ω.
Alors
lim inf n A n =
∞
n=1
∞
m=n
A m ; lim sup n A n =
∞
n=1
∞
m=n
A m ;
lim inf n A n ⊂ lim sup n A n .
D´ emonstration. — Dire que ω appartient `
a tous les A n sauf `
a un
nombre fini, c’est dire qu’` a partir d’un rang n, il appartient `
a l’intersection
B n =
m≥n A m . Par cons´ equent, il existe un entier n tel que ω ∈ B n , ce qui
prouve la premi` ere identit´ e.
Le fait pour l’´ el´ ement ω d’appartenir `
a une infinit´ e de parties A n veut dire
qu’aussi loin qu’on peut aller dans la suite des entiers, disons `
a l’indice n, cet
´ el´ ement appartient toujours `
a la r´ eunion C n =
m≥n A m . Par cons´ equent, ω
appartient `
a l’intersection de la suite (C n ), ce qui ´ etablit la seconde identit´ e.
L’inclusion est banale, car si ω appartient `
a lim inf n A n , il appartient `
a tous
les A n ` a partir d’un certain rang, donc `
a une infinit´ e d’´ ev` enements A n .
Posons A ∗ = lim inf n A n et A
∗ = lim sup n A n . On v´ erifie imm´ ediatement
les relations :
(3.2.1)
(A ∗ )
c = lim sup n A n
c
et
(A
∗ )
c = lim inf n A n
c .
D´ efinition. — Si lim inf n A n = lim sup n A n , on dit que la suite (A n ) a
une limite et on ´ ecrit :
(3.2.2)
lim n A n = lim inf n A n = lim sup n A n .
On dit encore que la suite (A n ) tend vers A = lim n A n ou converge vers A.
CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
De mˆ eme, si la suite (A n ) est d´ ecroissante, `
a savoir si A n ⊃ A n+1 pour
tout n, l’intersection
n A n de la suite est encore appel´ ee la limite de la suite.
On ´ ecrit
n A n = lim n A n et A n ↓ lim n A n .
Lorsqu’une suite (A n ) est ou bien croissante, ou bien d´ ecroissante, on dit
qu’elle est monotone.
3.2. Limites inf´ erieure et sup´ erieure. — Une suite (A n ) d’´ ev` enements
´ etant donn´ ee, on peut toujours d´ efinir la limite inf´ erieure et la limite
sup´ erieure de cette suite. La limite inf´ erieure de la suite (A n ) est d´ efinie
comme l’ensemble, not´ e lim inf n A n , de tous les ´ el´ ements ω de Ω qui appartiennent ` a tous les A n sauf `
a un nombre fini d’entre eux.
De mˆ eme, la limite sup´ erieure de la suite (A n ) est l’ensemble, not´ e
lim sup n A n , de tous les ´ el´ ements ω de Ω qui appartiennent ` a A n pour une
infinit´ e d’indices n.
Exprimons les limites inf´ erieure et sup´ erieure en fonction des symboles
union et intersection.
Proposition 3.2.1. — Soit (A n ) une suite de parties d’un ensemble Ω.
Alors
lim inf n A n =
∞
n=1
∞
m=n
A m ; lim sup n A n =
∞
n=1
∞
m=n
A m ;
lim inf n A n ⊂ lim sup n A n .
D´ emonstration. — Dire que ω appartient `
a tous les A n sauf `
a un
nombre fini, c’est dire qu’` a partir d’un rang n, il appartient `
a l’intersection
B n =
m≥n A m . Par cons´ equent, il existe un entier n tel que ω ∈ B n , ce qui
prouve la premi` ere identit´ e.
Le fait pour l’´ el´ ement ω d’appartenir `
a une infinit´ e de parties A n veut dire
qu’aussi loin qu’on peut aller dans la suite des entiers, disons `
a l’indice n, cet
´ el´ ement appartient toujours `
a la r´ eunion C n =
m≥n A m . Par cons´ equent, ω
appartient `
a l’intersection de la suite (C n ), ce qui ´ etablit la seconde identit´ e.
L’inclusion est banale, car si ω appartient `
a lim inf n A n , il appartient `
a tous
les A n ` a partir d’un certain rang, donc `
a une infinit´ e d’´ ev` enements A n .
Posons A ∗ = lim inf n A n et A
∗ = lim sup n A n . On v´ erifie imm´ ediatement
les relations :
(3.2.1)
(A ∗ )
c = lim sup n A n
c
et
(A
∗ )
c = lim inf n A n
c .
D´ efinition. — Si lim inf n A n = lim sup n A n , on dit que la suite (A n ) a
une limite et on ´ ecrit :
(3.2.2)
lim n A n = lim inf n A n = lim sup n A n .
On dit encore que la suite (A n ) tend vers A = lim n A n ou converge vers A.