3. SUITES INFINIES D’ ´
EV `
ENEMENTS
3
des op´ erations ensemblistes sur les parties d’un ensemble. On utilise parfois
simultan´ ement le langage de la th´ eorie des ensembles et celui des probabilit´ es.
Les notions suivantes sont d’un usage courant :
1) La partie vide ∅ est un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement impossible ; il ne
se r´ ealise dans aucune ´ epreuve ;
2) La partie pleine Ω est un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement certain ; il se
r´ ealise dans toute ´ epreuve ;
3) Soient A et B deux ´ ev` enements. On dit que l’´ ev` enement A entraˆ ıne
l’´ ev` enement B, si B se r´ ealise (exactement) dans toute ´ epreuve o` u A se
r´ ealise ; autrement dit, si l’on a A ⊂ B.
4) Deux ´ ev` enements A et B sont ´ equivalents, si A entraˆ ıne B et B
entraˆ ıne A ; autrement dit, si l’on a A = B.
5) La conjonction de deux ´ ev` enements A et B est l’´ ev` enement qui se
r´ ealise exactement dans toute ´ epreuve o` u A et B se r´ ealisent tous deux.
C’est donc leur intersection A ∩ B.
6) La r´ eunion de deux ´ ev` enements A et B est l’´ ev` enement qui se r´ ealise
exactement dans toute ´ epreuve o` u l’un au moins des ´ ev` enements A, B se
r´ ealise. C’est donc A ∪ B.
7) L’´ ev` enement contraire d’un ´ ev` enement A est l’´ ev` enement qui se
r´ ealise exactement dans toute ´ epreuve o` u A ne se r´ ealise pas. C’est donc
le compl´ ementaire de A, que l’on note A
c (= Ω \ A).
8) Deux ´ ev` enements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si leur
conjonction est l’´ ev` enement impossible, autrement dit, si A ∩ B = ∅.
Notations. — Lorsque les ´ ev` enements A et B sont incompatibles, on
notera A + B, plutˆ ot que A ∪ B, leur r´ eunion. De mˆ eme, on ´ ecrit
i A i
la r´ eunion d’´ ev` enements A i , deux `
a deux incompatibles. On utilise aussi la
notation AB pour A ∩ B.
La diff´ erence entre deux ´ ev` enements A et B, dans cet ordre, not´ ee A \ B,
est l’´ ev` enement A ∩ B
c . Lorsque A ⊃ B, on parle plus volontiers de la
diff´ erence propre A \ B. Une suite d’´ ev` enements A n est not´ ee (A n ) (n ≥ 1)
ou simplement (A n ). S’il s’agit d’une suite finie, on ´ ecrit, par exemple, (A i )
(i = 1, 2, . . . , n).
3. Suites infinies d’´ ev` enements
3.1. Limites de suites d’´ ev` enements. — Soit (A n ) une suite d’´ ev` enements.
Dans la th´ eorie des ensembles, la r´ eunion
n A n (on ´ ecrit encore
∞
n=1 A n )
de la suite (A n ) est l’ensemble des ´ el´ ements ω ∈ Ω ayant la propri´ et´ e il
existe un entier n tel que ω ∈ A n
. Dans le langage des probabilit´ es, compte
tenu de la transcription ci-dessus, l’´ ev` enement
n A n est l’´ ev` enement l’un
au moins des A n se r´ ealise . De mˆ eme,
n A n est l’´ ev` enement tous les A n
se r´ ealisent .
Si la suite (A n ) est croissante, c’est-` a-dire si l’on a A n ⊂ A n+1 pour tout n,
la r´ eunion
n A n de la suite (A n ) est aussi appel´ ee la limite de la suite. On
´ ecrit alors
n A n = lim n A n , ou encore A n ↑ lim n A n .
EV `
ENEMENTS
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des op´ erations ensemblistes sur les parties d’un ensemble. On utilise parfois
simultan´ ement le langage de la th´ eorie des ensembles et celui des probabilit´ es.
Les notions suivantes sont d’un usage courant :
1) La partie vide ∅ est un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement impossible ; il ne
se r´ ealise dans aucune ´ epreuve ;
2) La partie pleine Ω est un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement certain ; il se
r´ ealise dans toute ´ epreuve ;
3) Soient A et B deux ´ ev` enements. On dit que l’´ ev` enement A entraˆ ıne
l’´ ev` enement B, si B se r´ ealise (exactement) dans toute ´ epreuve o` u A se
r´ ealise ; autrement dit, si l’on a A ⊂ B.
4) Deux ´ ev` enements A et B sont ´ equivalents, si A entraˆ ıne B et B
entraˆ ıne A ; autrement dit, si l’on a A = B.
5) La conjonction de deux ´ ev` enements A et B est l’´ ev` enement qui se
r´ ealise exactement dans toute ´ epreuve o` u A et B se r´ ealisent tous deux.
C’est donc leur intersection A ∩ B.
6) La r´ eunion de deux ´ ev` enements A et B est l’´ ev` enement qui se r´ ealise
exactement dans toute ´ epreuve o` u l’un au moins des ´ ev` enements A, B se
r´ ealise. C’est donc A ∪ B.
7) L’´ ev` enement contraire d’un ´ ev` enement A est l’´ ev` enement qui se
r´ ealise exactement dans toute ´ epreuve o` u A ne se r´ ealise pas. C’est donc
le compl´ ementaire de A, que l’on note A
c (= Ω \ A).
8) Deux ´ ev` enements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si leur
conjonction est l’´ ev` enement impossible, autrement dit, si A ∩ B = ∅.
Notations. — Lorsque les ´ ev` enements A et B sont incompatibles, on
notera A + B, plutˆ ot que A ∪ B, leur r´ eunion. De mˆ eme, on ´ ecrit
i A i
la r´ eunion d’´ ev` enements A i , deux `
a deux incompatibles. On utilise aussi la
notation AB pour A ∩ B.
La diff´ erence entre deux ´ ev` enements A et B, dans cet ordre, not´ ee A \ B,
est l’´ ev` enement A ∩ B
c . Lorsque A ⊃ B, on parle plus volontiers de la
diff´ erence propre A \ B. Une suite d’´ ev` enements A n est not´ ee (A n ) (n ≥ 1)
ou simplement (A n ). S’il s’agit d’une suite finie, on ´ ecrit, par exemple, (A i )
(i = 1, 2, . . . , n).
3. Suites infinies d’´ ev` enements
3.1. Limites de suites d’´ ev` enements. — Soit (A n ) une suite d’´ ev` enements.
Dans la th´ eorie des ensembles, la r´ eunion
n A n (on ´ ecrit encore
∞
n=1 A n )
de la suite (A n ) est l’ensemble des ´ el´ ements ω ∈ Ω ayant la propri´ et´ e il
existe un entier n tel que ω ∈ A n
. Dans le langage des probabilit´ es, compte
tenu de la transcription ci-dessus, l’´ ev` enement
n A n est l’´ ev` enement l’un
au moins des A n se r´ ealise . De mˆ eme,
n A n est l’´ ev` enement tous les A n
se r´ ealisent .
Si la suite (A n ) est croissante, c’est-` a-dire si l’on a A n ⊂ A n+1 pour tout n,
la r´ eunion
n A n de la suite (A n ) est aussi appel´ ee la limite de la suite. On
´ ecrit alors
n A n = lim n A n , ou encore A n ↑ lim n A n .