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CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
vendredi entre 8 heures et 10 heures ne se r´ ealise pas dans l’´ epreuve ω, mais
que l’´ ev` enement B au moins l’un des bateaux 1 et 2 arrive le 8 janvier se
r´ ealise en ω.
Pour ´ etudier ce ph´ enom` ene des arriv´ ees, on est donc amen´ e ` a introduire
un ensemble fondamental Ω et ` a l’identifier `
a l’ensemble des couples (n, t), o` u
n d´ esigne le num´ ero d’un p´ etrolier de la compagnie et t l’instant d’arriv´ ee au
port du p´ etrolier. L’´ epreuve ω consid´ er´ ee pr´ ec´ edemment est alors l’´ el´ ement
(2, (8, 9)), o` u (8,9) d´ esigne le 8 janvier, 9 heures. L’´ ev` enement B est identifi´ e
` a l’ensemble de tous les ´ el´ ements (n, t), tels que n = 1 ou 2 et (8, 0) ≤ t ≤
(8, 24). Dans cet exemple, on voit donc que l’appartenance ω ∈ B ´ equivaut
au fait que B s’est r´ ealis´ e dans l’´ epreuve ω . Le langage d’appartenance
provient de la th´ eorie des ensembles, celui de la r´ ealisation d’´ ev` enements du
langage des probabilit´ es. L’´ equivalence qui vient d’ˆ etre d´ ecrite permet de
passer constamment d’un langage `
a l’autre, comme il est pr´ ecis´ e dans les
paragraphes suivants.
2. Le triplet fondamental. — Ci-dessus, on a pu expliciter compl` etement l’ensemble fondamental Ω. Dans la plupart des cas cependant, on
se borne `
a supposer l’existence d’un tel ensemble. Celui-ci fait partie d’un
triplet (Ω, A, P) ayant les propri´ et´ es suivantes :
a) Ω est un ensemble non vide appel´ e ensemble fondamental ; ses ´ el´ ements ω
sont appel´ es ´ epreuves. L’ensemble Ω contient l’ensemble de tous les
r´ esultats possibles de l’exp´ erience al´ eatoire.
b) A est une classe de sous-ensembles de Ω appel´ es ´ ev` enements ; un ´ ev` enement
est un fait attach´ e ` a l’exp´ erience al´ eatoire et susceptible ou non de se produire. Si ω est une ´ epreuve et A un ´ ev` enement, on dit que l’´ ev` enement A
se r´ ealise dans l’´ epreuve ω si et seulement si ω appartient ` a A.
Dans les cas ´ el´ ementaires, la classe A des ´ ev` enements est la plupart du temps
´ egale ` a P(Ω), l’ensemble de toutes les parties de Ω (une notation qui est
constamment utilis´ ee par la suite), de sorte que tout sous-ensemble de Ω
peut ˆ etre consid´ er´ e comme ´ ev` enement. En particulier, tout singleton, c’est` a-dire tout sous-ensemble de la forme {ω}, o` u ω est un ´ el´ ement de Ω, est
un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement ´ el´ ementaire. A un stade plus ´ elabor´ e de la
th´ eorie, il convient de ne pas supposer que la classe A soit confondue avec
P(Ω), de sorte qu’un singleton peut ne pas ˆ etre un ´ ev` enement ; la notion
d’´ ev` enement ´ el´ ementaire est plutˆ ot `
a proscrire. Toutefois, on cherche `
a faire
en sorte que la classe A ob´ eisse ` a des r` egles alg´ ebriques commodes, comme
celles d’une tribu.
c) P est une pond´ eration sur la classe A des ´ ev` enements. Dans le mod` ele que
nous adoptons, P est une mesure de probabilit´ e sur A. Le nombre P(A) est
appel´ e la probabilit´ e de A.
Le mod` ele que nous venons de proposer permet de traduire dans le langage du
calcul des probabilit´ es la plupart des notions de la th´ eorie des ensembles. En
particulier, les op´ erations logiques sur les ´ ev` enements vont maintenant ˆ etre
CHAPITRE PREMIER : LE LANGAGE DES PROBABILIT ´
ES
vendredi entre 8 heures et 10 heures ne se r´ ealise pas dans l’´ epreuve ω, mais
que l’´ ev` enement B au moins l’un des bateaux 1 et 2 arrive le 8 janvier se
r´ ealise en ω.
Pour ´ etudier ce ph´ enom` ene des arriv´ ees, on est donc amen´ e ` a introduire
un ensemble fondamental Ω et ` a l’identifier `
a l’ensemble des couples (n, t), o` u
n d´ esigne le num´ ero d’un p´ etrolier de la compagnie et t l’instant d’arriv´ ee au
port du p´ etrolier. L’´ epreuve ω consid´ er´ ee pr´ ec´ edemment est alors l’´ el´ ement
(2, (8, 9)), o` u (8,9) d´ esigne le 8 janvier, 9 heures. L’´ ev` enement B est identifi´ e
` a l’ensemble de tous les ´ el´ ements (n, t), tels que n = 1 ou 2 et (8, 0) ≤ t ≤
(8, 24). Dans cet exemple, on voit donc que l’appartenance ω ∈ B ´ equivaut
au fait que B s’est r´ ealis´ e dans l’´ epreuve ω . Le langage d’appartenance
provient de la th´ eorie des ensembles, celui de la r´ ealisation d’´ ev` enements du
langage des probabilit´ es. L’´ equivalence qui vient d’ˆ etre d´ ecrite permet de
passer constamment d’un langage `
a l’autre, comme il est pr´ ecis´ e dans les
paragraphes suivants.
2. Le triplet fondamental. — Ci-dessus, on a pu expliciter compl` etement l’ensemble fondamental Ω. Dans la plupart des cas cependant, on
se borne `
a supposer l’existence d’un tel ensemble. Celui-ci fait partie d’un
triplet (Ω, A, P) ayant les propri´ et´ es suivantes :
a) Ω est un ensemble non vide appel´ e ensemble fondamental ; ses ´ el´ ements ω
sont appel´ es ´ epreuves. L’ensemble Ω contient l’ensemble de tous les
r´ esultats possibles de l’exp´ erience al´ eatoire.
b) A est une classe de sous-ensembles de Ω appel´ es ´ ev` enements ; un ´ ev` enement
est un fait attach´ e ` a l’exp´ erience al´ eatoire et susceptible ou non de se produire. Si ω est une ´ epreuve et A un ´ ev` enement, on dit que l’´ ev` enement A
se r´ ealise dans l’´ epreuve ω si et seulement si ω appartient ` a A.
Dans les cas ´ el´ ementaires, la classe A des ´ ev` enements est la plupart du temps
´ egale ` a P(Ω), l’ensemble de toutes les parties de Ω (une notation qui est
constamment utilis´ ee par la suite), de sorte que tout sous-ensemble de Ω
peut ˆ etre consid´ er´ e comme ´ ev` enement. En particulier, tout singleton, c’est` a-dire tout sous-ensemble de la forme {ω}, o` u ω est un ´ el´ ement de Ω, est
un ´ ev` enement appel´ e ´ ev` enement ´ el´ ementaire. A un stade plus ´ elabor´ e de la
th´ eorie, il convient de ne pas supposer que la classe A soit confondue avec
P(Ω), de sorte qu’un singleton peut ne pas ˆ etre un ´ ev` enement ; la notion
d’´ ev` enement ´ el´ ementaire est plutˆ ot `
a proscrire. Toutefois, on cherche `
a faire
en sorte que la classe A ob´ eisse ` a des r` egles alg´ ebriques commodes, comme
celles d’une tribu.
c) P est une pond´ eration sur la classe A des ´ ev` enements. Dans le mod` ele que
nous adoptons, P est une mesure de probabilit´ e sur A. Le nombre P(A) est
appel´ e la probabilit´ e de A.
Le mod` ele que nous venons de proposer permet de traduire dans le langage du
calcul des probabilit´ es la plupart des notions de la th´ eorie des ensembles. En
particulier, les op´ erations logiques sur les ´ ev` enements vont maintenant ˆ etre