COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
13
a) V´ erifier que F 1 et F 2 sont des tribus.
b) Construire l’alg` ebre (de Boole) F 3 engendr´ ee par la classe form´ ee par
les deux sous-ensembles {a } et {c, d }.
c) V´ erifier que F 3 est une tribu.
d) Construire la tribu F 4 engendr´ ee par F 2 ∪ F 3 .
4. — Soient Ω un ensemble et Π = (A n ) n≥1 une partition (d´ enombrable)
de Ω, c’est-` a-dire une famille de parties de Ω v´ erifiant :
A n = ∅ pour tout n,
n≥1
A n = Ω, A i ∩ A j = ∅ pour tout i = j.
Une tribu A sur Ω est dite engendr´ ee par la partition Π si tous les ´ el´ ements
de Π sont des ´ el´ ements de A et si tout ´ el´ ement de A est la r´ eunion (finie ou
d´ enombrable) d’´ el´ ements de Π, c’est-` a-dire si l’on a :
A =
n∈T
A n : T ∈ P(N
∗ )
.
a) Montrer que toute tribu A sur un ensemble d´ enombrable Ω est engendr´ ee
par une partition du type ci-dessus.
b) Existe-t-il une tribu qui ait une infinit´ e d´ enombrable d’´ el´ ements ?
5. — Soit A 1 , . . . , A n un syst` eme de n (n ≥ 1) parties d’un ensemble
non vide Ω. Donner une description de l’alg` ebre A engendr´ ee par la classe
{A 1 , . . . , A n }. Donner une majoration pour le cardinal de A.
6. — Montrer que la tribu bor´ elienne B
1 de R est engendr´ ee par l’une des
classes suivantes, o` u a et b sont des r´ eels v´ erifiant −∞ < a ≤ b < ∞ :
a) C 1 = { ]a, b[ } ; b) C 2 = { [a, b[ } ; c) C 3 = { ]a, b] } ;
d) C 4 = { [a, +∞[ } ; e) C 5 = { ] − ∞, a[ } ; f) C 6 = { ]a, +∞[ } ;
g) C 7 = { ] − ∞, a] } ; h) C 8 = { r´ eunions finies d’intervalles semi-ouverts `
a
droite, c’est-` a-dire appartenant `
a P} (cf. Proposition 1.1) ;
i) C 9 = { ouverts de la droite } ; j) C 10 = { ferm´ es de la droite } ; cet
inventaire n’est pas exhaustif !
7. — Soit C la classe des parties d’un ensemble non vide Ω r´ eduites ` a un
seul ´ el´ ement. Montrer que la tribu engendr´ ee par C est l’ensemble P(Ω) des
parties de Ω, si et seulement si Ω est au plus d´ enombrable.
8. — On a vu que l’intersection de deux tribus est encore une tribu ;
en revanche, la r´ eunion de deux tribus n’est pas n´ ecessairement une tribu.
Fournir un exemple de deux tribus dont la r´ eunion n’est pas une tribu.
EMENTS ET EXERCICES
13
a) V´ erifier que F 1 et F 2 sont des tribus.
b) Construire l’alg` ebre (de Boole) F 3 engendr´ ee par la classe form´ ee par
les deux sous-ensembles {a } et {c, d }.
c) V´ erifier que F 3 est une tribu.
d) Construire la tribu F 4 engendr´ ee par F 2 ∪ F 3 .
4. — Soient Ω un ensemble et Π = (A n ) n≥1 une partition (d´ enombrable)
de Ω, c’est-` a-dire une famille de parties de Ω v´ erifiant :
A n = ∅ pour tout n,
n≥1
A n = Ω, A i ∩ A j = ∅ pour tout i = j.
Une tribu A sur Ω est dite engendr´ ee par la partition Π si tous les ´ el´ ements
de Π sont des ´ el´ ements de A et si tout ´ el´ ement de A est la r´ eunion (finie ou
d´ enombrable) d’´ el´ ements de Π, c’est-` a-dire si l’on a :
A =
n∈T
A n : T ∈ P(N
∗ )
.
a) Montrer que toute tribu A sur un ensemble d´ enombrable Ω est engendr´ ee
par une partition du type ci-dessus.
b) Existe-t-il une tribu qui ait une infinit´ e d´ enombrable d’´ el´ ements ?
5. — Soit A 1 , . . . , A n un syst` eme de n (n ≥ 1) parties d’un ensemble
non vide Ω. Donner une description de l’alg` ebre A engendr´ ee par la classe
{A 1 , . . . , A n }. Donner une majoration pour le cardinal de A.
6. — Montrer que la tribu bor´ elienne B
1 de R est engendr´ ee par l’une des
classes suivantes, o` u a et b sont des r´ eels v´ erifiant −∞ < a ≤ b < ∞ :
a) C 1 = { ]a, b[ } ; b) C 2 = { [a, b[ } ; c) C 3 = { ]a, b] } ;
d) C 4 = { [a, +∞[ } ; e) C 5 = { ] − ∞, a[ } ; f) C 6 = { ]a, +∞[ } ;
g) C 7 = { ] − ∞, a] } ; h) C 8 = { r´ eunions finies d’intervalles semi-ouverts `
a
droite, c’est-` a-dire appartenant `
a P} (cf. Proposition 1.1) ;
i) C 9 = { ouverts de la droite } ; j) C 10 = { ferm´ es de la droite } ; cet
inventaire n’est pas exhaustif !
7. — Soit C la classe des parties d’un ensemble non vide Ω r´ eduites ` a un
seul ´ el´ ement. Montrer que la tribu engendr´ ee par C est l’ensemble P(Ω) des
parties de Ω, si et seulement si Ω est au plus d´ enombrable.
8. — On a vu que l’intersection de deux tribus est encore une tribu ;
en revanche, la r´ eunion de deux tribus n’est pas n´ ecessairement une tribu.
Fournir un exemple de deux tribus dont la r´ eunion n’est pas une tribu.