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CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
2. — On se place dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.6, mais on suppose,
en plus, que les variables al´ eatoires X n sont ind´ ependantes et non seulement
ind´ ependantes deux `
a deux. Montrer directement, en utilisant les fonctions
caract´ eristiques, que Y n
p
−→ 0.
3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees. On suppose que Y n = (1/n)
n
k=1
X k
p.s.
−→ Y .
D´ emontrer les propri´ et´ es suivantes :
a)
n≥1
P{|X n | ≥ n} < +∞ ;
b) les X n sont int´ egrables ;
c) Y = constante presque sˆ urement.
4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires. On pose
S n = X 1 + · · · + X n . Montrer que si S n /
√
n
L
−→ Y , alors S n /n
p
−→ 0, c’est-` adire la suite (X n ) (n ≥ 1) v´ erifie la loi faible des grands nombres.
5. — Le mod` ele de pile ou face de Bernoulli fournit une d´ emonstration remarquable, due `
a Bernstein, du th´ eor` eme d’approximation de Weierstrass, qui affirme qu’une fonction continue sur un intervalle born´ e peut ˆ etre
approch´ ee par des polynˆ omes, et ceci uniform´ ement sur cet intervalle.
Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees, de loi commune pε 1 + qε 0 (0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1).
On pose Y n = (1/n)
n
k=1
X k ; le th´ eor` eme de Bernoulli affirme que Y n
p
−→ p.
Soit h : [0, 1] → R une fonction continue, donc born´ ee. Montrons que
E[h ◦ Y n ] → h(p) (n → ∞) et ceci uniform´ ement en p ∈ [0, 1].
D´ emonstration. — Pour tout δ > 0, en d´ esignant par µ la loi de Y n ,
on a l’´ evaluation : |E[h ◦ Y n − h(p)]| ≤ E[ |h ◦ Y n − h(p)| ] = A + B, o` u
A =
{|x−p|≤δ}
|h(x) − h(p)| dµ(x) et B =
{|x−p|>δ}
|h(x) − h(p)| dµ(x).
La fonction h, continue sur [0, 1], est uniform´ ement continue : quel que
soit ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que |x − p| ≤ δ entraˆ ıne |h(x) − h(p)| < ε.
De l` a, A < ε.
Fixons ε, donc δ. Soit M une borne sup´ erieure de |h| sur [0, 1]. On
a : B ≤ 2M
{|x−p|>δ}
dµ(x) = 2M P{|Y n − p| > δ}, une quantit´ e qui
d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev est major´ ee par 2M Var Y n /δ
2
≤
2M pq/(nδ
2 ) ≤ 2M/(nδ
2 ). La derni` ere quantit´ e est ind´ ependante de p et tend
vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Il en est de mˆ eme de B et ceci uniform´ ement
en p.
Il en r´ esulte que E[h ◦ Y n ] tend, uniform´ ement en p, vers h(p), lorsque
n tend vers l’infini. Or Y n = S n /n et L(S n ) = B(n, p). De l` a, E[h ◦ Y n ] =
n
k=0
h(k/n)
n
k
p
k (1 − p)
n−k tend, uniform´ ement en p ∈ [0, 1], vers h(p). C’est
CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
2. — On se place dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.6, mais on suppose,
en plus, que les variables al´ eatoires X n sont ind´ ependantes et non seulement
ind´ ependantes deux `
a deux. Montrer directement, en utilisant les fonctions
caract´ eristiques, que Y n
p
−→ 0.
3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees. On suppose que Y n = (1/n)
n
k=1
X k
p.s.
−→ Y .
D´ emontrer les propri´ et´ es suivantes :
a)
n≥1
P{|X n | ≥ n} < +∞ ;
b) les X n sont int´ egrables ;
c) Y = constante presque sˆ urement.
4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires. On pose
S n = X 1 + · · · + X n . Montrer que si S n /
√
n
L
−→ Y , alors S n /n
p
−→ 0, c’est-` adire la suite (X n ) (n ≥ 1) v´ erifie la loi faible des grands nombres.
5. — Le mod` ele de pile ou face de Bernoulli fournit une d´ emonstration remarquable, due `
a Bernstein, du th´ eor` eme d’approximation de Weierstrass, qui affirme qu’une fonction continue sur un intervalle born´ e peut ˆ etre
approch´ ee par des polynˆ omes, et ceci uniform´ ement sur cet intervalle.
Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees, de loi commune pε 1 + qε 0 (0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1).
On pose Y n = (1/n)
n
k=1
X k ; le th´ eor` eme de Bernoulli affirme que Y n
p
−→ p.
Soit h : [0, 1] → R une fonction continue, donc born´ ee. Montrons que
E[h ◦ Y n ] → h(p) (n → ∞) et ceci uniform´ ement en p ∈ [0, 1].
D´ emonstration. — Pour tout δ > 0, en d´ esignant par µ la loi de Y n ,
on a l’´ evaluation : |E[h ◦ Y n − h(p)]| ≤ E[ |h ◦ Y n − h(p)| ] = A + B, o` u
A =
{|x−p|≤δ}
|h(x) − h(p)| dµ(x) et B =
{|x−p|>δ}
|h(x) − h(p)| dµ(x).
La fonction h, continue sur [0, 1], est uniform´ ement continue : quel que
soit ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que |x − p| ≤ δ entraˆ ıne |h(x) − h(p)| < ε.
De l` a, A < ε.
Fixons ε, donc δ. Soit M une borne sup´ erieure de |h| sur [0, 1]. On
a : B ≤ 2M
{|x−p|>δ}
dµ(x) = 2M P{|Y n − p| > δ}, une quantit´ e qui
d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev est major´ ee par 2M Var Y n /δ
2
≤
2M pq/(nδ
2 ) ≤ 2M/(nδ
2 ). La derni` ere quantit´ e est ind´ ependante de p et tend
vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Il en est de mˆ eme de B et ceci uniform´ ement
en p.
Il en r´ esulte que E[h ◦ Y n ] tend, uniform´ ement en p, vers h(p), lorsque
n tend vers l’infini. Or Y n = S n /n et L(S n ) = B(n, p). De l` a, E[h ◦ Y n ] =
n
k=0
h(k/n)
n
k
p
k (1 − p)
n−k tend, uniform´ ement en p ∈ [0, 1], vers h(p). C’est