COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
233
dactylographe tape au hasard sur une machine `
a ´ ecrire, alors, avec une
probabilit´ e ´ egale ` a 1, tout texte, de quelque longueur que ce soit, se r´ ealise
une infinit´ e de fois au cours de la frappe.
1
Le lemme de Borel-Cantelli a pour cons´ equence le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.2 (Loi (0, 1) de E. Borel). — Soient (A n ) (n ≥ 1) une suite
d’´ ev` enements ind´ ependants deux ` a deux et A
∗ l’´ ev` enement A
∗ = lim sup n A n .
Alors P(A
∗ ) ne peut prendre que la valeur 0 ou 1, et ceci selon que la s´ erie
de terme g´ en´ eral P(A n ) est convergente ou divergente.
Ce th´ eor` eme est un premier exemple de la c´ el` ebre loi (0, 1) de Kolmogorov,
qui affirme que certains ´ ev` enements ( terminaux ) ne peuvent admettre
pour probabilit´ e que 0 ou 1.
Comme illustration de ce th´ eor` eme, montrons que si (X n ) (n ≥ 1) est une
suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes telle que la suite (Y n ) (n ≥ 1),
avec Y n =
1
n
n
k=1
X k , converge presque sˆ urement vers une limite Y , alors
Y est presque sˆ urement constante. Pour le voir, remarquons tout d’abord
que, pout tout k ≥ 1, le syst` eme (X 1 , . . . , X k ) est ind´ ependant de Y =
lim n (X 1 +· · ·+X n )/n = lim n (X k+1 +· · ·+X k+n )/n, donc Y k est ind´ ependante
de Y . Pour tout x r´ eel l’´ ev` enement {Y k ≤ x} est donc ind´ ependant de
{Y ≤ x}. (L’´ ev` enement {Y ≤ x} est bien un ´ ev` enement terminal .) On
a alors P({Y k ≤ x} ∩ {Y ≤ x}) = P{Y k ≤ x}P{Y ≤ x} pour tout x r´ eel. En
faisant tendre k vers l’infini, on en d´ eduit P{Y ≤ x} = (P{Y ≤ x})
2 et donc
P{Y ≤ x} = 0 ou 1 pour tout x. Comme l’application x → P{Y ≤ x} est
une fonction de r´ epartition, elle est n´ ecessairement ´ egale ` a l’´ echelon-unit´ e.
Ainsi Y = constante.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi, de L
2 . On pose m = E[X 1 ], σ
2 = Var X 1 . Pour tout entier
n ≥ 2, on d´ efinit les variables al´ eatoires :
Y n =
1
n
n
k=1
X k ,
Z n =
1
n − 1
n
k=1
(X k − Y n )
2 .
a) Calculer E[Z n ].
b) Montrer que Z n
p.s.
−→ σ
2 , lorsque n tend vers l’infini.
1 Borel ( ´
Emile). — Le hasard. — Paris, Librairie F´ elix Alcan, .
EMENTS ET EXERCICES
233
dactylographe tape au hasard sur une machine `
a ´ ecrire, alors, avec une
probabilit´ e ´ egale ` a 1, tout texte, de quelque longueur que ce soit, se r´ ealise
une infinit´ e de fois au cours de la frappe.
1
Le lemme de Borel-Cantelli a pour cons´ equence le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.2 (Loi (0, 1) de E. Borel). — Soient (A n ) (n ≥ 1) une suite
d’´ ev` enements ind´ ependants deux ` a deux et A
∗ l’´ ev` enement A
∗ = lim sup n A n .
Alors P(A
∗ ) ne peut prendre que la valeur 0 ou 1, et ceci selon que la s´ erie
de terme g´ en´ eral P(A n ) est convergente ou divergente.
Ce th´ eor` eme est un premier exemple de la c´ el` ebre loi (0, 1) de Kolmogorov,
qui affirme que certains ´ ev` enements ( terminaux ) ne peuvent admettre
pour probabilit´ e que 0 ou 1.
Comme illustration de ce th´ eor` eme, montrons que si (X n ) (n ≥ 1) est une
suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes telle que la suite (Y n ) (n ≥ 1),
avec Y n =
1
n
n
k=1
X k , converge presque sˆ urement vers une limite Y , alors
Y est presque sˆ urement constante. Pour le voir, remarquons tout d’abord
que, pout tout k ≥ 1, le syst` eme (X 1 , . . . , X k ) est ind´ ependant de Y =
lim n (X 1 +· · ·+X n )/n = lim n (X k+1 +· · ·+X k+n )/n, donc Y k est ind´ ependante
de Y . Pour tout x r´ eel l’´ ev` enement {Y k ≤ x} est donc ind´ ependant de
{Y ≤ x}. (L’´ ev` enement {Y ≤ x} est bien un ´ ev` enement terminal .) On
a alors P({Y k ≤ x} ∩ {Y ≤ x}) = P{Y k ≤ x}P{Y ≤ x} pour tout x r´ eel. En
faisant tendre k vers l’infini, on en d´ eduit P{Y ≤ x} = (P{Y ≤ x})
2 et donc
P{Y ≤ x} = 0 ou 1 pour tout x. Comme l’application x → P{Y ≤ x} est
une fonction de r´ epartition, elle est n´ ecessairement ´ egale ` a l’´ echelon-unit´ e.
Ainsi Y = constante.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi, de L
2 . On pose m = E[X 1 ], σ
2 = Var X 1 . Pour tout entier
n ≥ 2, on d´ efinit les variables al´ eatoires :
Y n =
1
n
n
k=1
X k ,
Z n =
1
n − 1
n
k=1
(X k − Y n )
2 .
a) Calculer E[Z n ].
b) Montrer que Z n
p.s.
−→ σ
2 , lorsque n tend vers l’infini.
1 Borel ( ´
Emile). — Le hasard. — Paris, Librairie F´ elix Alcan, .