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CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
D´ emonstration.
a) On a A
∗ =
n≥1
k≥n A k , d’o` u, pour tout n ≥ 1, P(A
∗ ) ≤
P(
k≥n A k ) ≤
k≥n P(A k ). Le dernier membre ´ etant le reste d’ordre n d’une
s´ erie convergente, tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini ; d’o` u P(A
∗ ) = 0.
b) Posons S n = I A 1 + · · · + I A n . Par hypoth` ese, on a :
E[S n ] =
n
k=1
E[I A k ] =
n
k=1
P(A k ) ↑ +∞.
Puisque les A n sont ind´ ependants deux `
a deux, on a ´ egalement :
Var S n =
n
k=1
Var I A k ≤
n
k=1
E[I
2
A k
] =
n
k=1
E[I A k ] = E[S n ].
En posant T n = S n /E[S n ], il vient
E[(T n − 1)
2 ] = Var T n =
Var S n
(E[S n ]) 2 ≤
1
E[S n ]
,
expression qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Ainsi T n − 1 → 0 dans
L
2 , donc en probabilit´ e ; d’o` u T n → 1 en probabilit´ e.
On peut donc extraire de la suite (T n ) une suite partielle (T n k ) telle que
T n k → 1 presque sˆ urement, lorsque k tend vers l’infini. Comme l’hypoth` ese
n≥1 P(A n ) = +∞ est ´ equivalente `
a E[S n k ] ↑ +∞ (k → +∞), il en r´ esulte
que S n k ↑ +∞ (k → +∞) presque sˆ urement, propri´ et´ e qui ´ equivaut `
a
P(A
∗ ) = 1.
Remarque. — La r´ eciproque de a) n’est pas vraie. Pour le voir, prenons
pour espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u Ω = [0, 1], o` u A est l’ensemble des
bor´ eliens de [0, 1] et o` u P est la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Consid´ erons
la suite d’´ ev` enements (A n = [0, 1/n]) (n ≥ 1). On v´ erifie que cette suite est
d´ ecroissante, donc A
∗ =
n≥1
A n = {0} et P(A
∗ ) = 0, alors que
n≥1
P(A n ) =
n≥1
1
n
= +∞.
L’hypoth` ese d’ind´ ependance dans b) est donc essentielle.
Application. — Consid´ erons une suite de parties ind´ ependantes de pile
ou face , la probabilit´ e d’apparition de pile en une partie ´ etant p
(0 < p < 1). Soit A un mot de longueur l ≥ 1, c’est-` a-dire une suite de l
termes dont chacun est soit pile , soit face . D´ esignons par A 1 l’´ ev` enement
consistant en le fait que le mot A se r´ ealise dans les l premi` eres parties, par
A 2 l’´ ev` enement consistant en le fait que le mot A se r´ ealise dans les l parties
suivantes, etc. Les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . sont ind´ ependants et pour tout
n ≥ 1 on a P(A n ) = P(A 1 ) > 0, d’o` u
n≥1 P(A n ) = +∞. Il r´ esulte du
lemme (partie b)) qu’avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1, le mot A se r´ ealise une
infinit´ e de fois au cours du jeu. Un argument analogue montre que si un singe
CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
D´ emonstration.
a) On a A
∗ =
n≥1
k≥n A k , d’o` u, pour tout n ≥ 1, P(A
∗ ) ≤
P(
k≥n A k ) ≤
k≥n P(A k ). Le dernier membre ´ etant le reste d’ordre n d’une
s´ erie convergente, tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini ; d’o` u P(A
∗ ) = 0.
b) Posons S n = I A 1 + · · · + I A n . Par hypoth` ese, on a :
E[S n ] =
n
k=1
E[I A k ] =
n
k=1
P(A k ) ↑ +∞.
Puisque les A n sont ind´ ependants deux `
a deux, on a ´ egalement :
Var S n =
n
k=1
Var I A k ≤
n
k=1
E[I
2
A k
] =
n
k=1
E[I A k ] = E[S n ].
En posant T n = S n /E[S n ], il vient
E[(T n − 1)
2 ] = Var T n =
Var S n
(E[S n ]) 2 ≤
1
E[S n ]
,
expression qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Ainsi T n − 1 → 0 dans
L
2 , donc en probabilit´ e ; d’o` u T n → 1 en probabilit´ e.
On peut donc extraire de la suite (T n ) une suite partielle (T n k ) telle que
T n k → 1 presque sˆ urement, lorsque k tend vers l’infini. Comme l’hypoth` ese
n≥1 P(A n ) = +∞ est ´ equivalente `
a E[S n k ] ↑ +∞ (k → +∞), il en r´ esulte
que S n k ↑ +∞ (k → +∞) presque sˆ urement, propri´ et´ e qui ´ equivaut `
a
P(A
∗ ) = 1.
Remarque. — La r´ eciproque de a) n’est pas vraie. Pour le voir, prenons
pour espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u Ω = [0, 1], o` u A est l’ensemble des
bor´ eliens de [0, 1] et o` u P est la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Consid´ erons
la suite d’´ ev` enements (A n = [0, 1/n]) (n ≥ 1). On v´ erifie que cette suite est
d´ ecroissante, donc A
∗ =
n≥1
A n = {0} et P(A
∗ ) = 0, alors que
n≥1
P(A n ) =
n≥1
1
n
= +∞.
L’hypoth` ese d’ind´ ependance dans b) est donc essentielle.
Application. — Consid´ erons une suite de parties ind´ ependantes de pile
ou face , la probabilit´ e d’apparition de pile en une partie ´ etant p
(0 < p < 1). Soit A un mot de longueur l ≥ 1, c’est-` a-dire une suite de l
termes dont chacun est soit pile , soit face . D´ esignons par A 1 l’´ ev` enement
consistant en le fait que le mot A se r´ ealise dans les l premi` eres parties, par
A 2 l’´ ev` enement consistant en le fait que le mot A se r´ ealise dans les l parties
suivantes, etc. Les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . sont ind´ ependants et pour tout
n ≥ 1 on a P(A n ) = P(A 1 ) > 0, d’o` u
n≥1 P(A n ) = +∞. Il r´ esulte du
lemme (partie b)) qu’avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1, le mot A se r´ ealise une
infinit´ e de fois au cours du jeu. Un argument analogue montre que si un singe