3. LES LEMMES DE BOREL-CANTELLI
231
Or, par d´ efinition de T n , on a, pour tout k tel que m ≤ k ≤ n les relations :
εP{T n = k} ≤
{T n =k}
|Y k | dP =
{T n =k, Y k >0}
Y k dP +
{T n =k, Y k <0}
(−Y k ) dP
= B + C.
Calculons s´ epar´ ement B et C. D’abord
B =
1
k
k
j=1
{T n =k, Y k >0}
X j dP.
Or, puisque les X n sont ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, toutes
les int´ egrales du second membre sont ´ egales. Ce second membre est donc
aussi ´ egal ` a la moyenne arithm´ etique de k nombres tous ´ egaux `
a l’int´ egrale
{T n =k, Y k >0}
X 1 dP. C’est donc aussi la moyenne arithm´ etique de m (m ≤ k)
nombres tous ´ egaux `
a cette quantit´ e. Par cons´ equent,
B =
1
m
m
j=1
{T n =k, Y k >0}
X 1 dP =
{T n =k, Y k >0}
Y m dP.
On op` ere de fa¸ con analogue pour C et l’on obtient :
C =
{T n =k, Y k <0}
(−Y m ) dP.
Finalement
εP{T n = k} ≤ B + C =
{T n =k}
|Y m | dP ;
d’o` u, en sommant sur k,
εP(A) ≤
m≤k≤n
{T n =k}
|Y m | dP ≤ E[ |Y m | ] = Y m 1 .
Corollaire 2.5. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
1 , ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. Alors
Y n =
1
n
n
k=1
X k
p.s.
−→ E[X 1 ].
Ce corollaire admet une r´ eciproque ; cf. Exercice 3.
3. Les lemmes de Borel-Cantelli
Lemme 3.1 (Borel-Cantelli). — Soit (A n ) (n ≥ 1) une suite d’´ ev` enements ; posons A
∗ = lim sup n A n .
a) Si
n≥1 P(A n ) < +∞, alors P(A
∗ ) = 0. Autrement dit, avec une
probabilit´ e ´ egale `
a 1, au plus un nombre fini d’´ ev` enements A n se r´ ealisent.
b) Supposons les ´ ev` enements A n ind´ ependants deux ` a deux.
Si
n≥1 P(A n ) = +∞, alors P(A
∗ ) = 1. Autrement dit, avec une probabilit´ e
´ egale `
a 1, une infinit´ e d’´ ev` enements A n se r´ ealisent.