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CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
D´ emonstration
a) Posons σ
2 = sup n σ
2
n < +∞ ; alors
n≥1
σ
2
n
n 2 ≤ σ
2
n≥1
1
n 2 < ∞ ;d’o` u
Y n → 0 presque sˆ urement, d’apr` es le Th´ eor` eme 2.1.
b) On a : E[Y
2
n ] = Var Y n =
1
n 2
n
k=1
σ
2
k ≤
σ
2
n
→ 0 ; d’o` u Y n → 0 dans L
2 ,
d’apr` es le Th´ eor` eme 1.1.
Remarque 1. — Rajchman a ´ etabli les mˆ emes conclusions en rempla¸ cant
ind´ ependantes par deux `
a deux non corr´ el´ ees .
Remarque 2. — Il en r´ esulte que, dans l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de Bernoulli,
on peut remplacer la convergence en probabilit´ e par la convergence presque
sˆ ure (E. Borel).
Th´ eor` eme 2.3 (Loi forte des grands nombres pour variables al´ eatoires
de L
1 (Kolmogorov)). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
1 , centr´ ees, ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. Utilisant les
notations (2.1) ci-dessus, on a : Y n → 0 presque sˆ urement.
D´ emonstration (L. Pratelli, non publi´ e).
a) On sait (Th´ eor` eme 4.2 du chap. 16) que la propri´ et´ e Y n
p.s.
−→ 0 ´ equivaut
` a l’´ enonc´ e :
pour tout ε > 0, on a P
sup
k≥m
|Y k | > ε
−→ 0
(m → ∞).
b) D´ emontrons le lemme suivant.
Lemme 2.4. — Pour tout m ≥ 1, tout ε > 0 on a :
ε P
sup
k≥m
|Y k | > ε
≤ ≤Y m 1 ,
c’est-` a-dire que si Y m → 0 dans L
1 , alors Y m → 0 presque sˆ urement.
c) Le r´ esultat d´ ecoule de a) et b) et du Th´ eor` eme 1.6 (loi faible des
grands nombres dans L
1 ).
D´ emonstration du lemme. — On va d´ emontrer l’´ enonc´ e suivant (´ equivalent au lemme) : Pour tout couple d’entiers (m, n) tel que 1 ≤ m ≤ n et tout
ε > 0 on a :
ε P
sup
m≤k≤n
|Y k | > ε
≤ ≤Y m 1 .
Introduisons l’ensemble T n = sup{k : 1 ≤ k ≤ n, |Y k | > ε } (avec la
convention sup ∅ = −∞) et posons A = {sup m≤k≤n |Y k | > ε }. Alors
A = {T n ≥ m} =
m≤k≤n
{T n = k} et ε P(A) = ε
m≤k≤n
P{T n = k}.