2. LA LOI FORTE DES GRANDS NOMBRES
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Remarque 1. — Le Th´ eor` eme 1.6 est naturellement valable si les variables
al´ eatoires X n sont ind´ ependantes.
Remarque 2. — Dans le cas o` u les variables al´ eatoires X n sont ind´ ependantes, la suite de terme g´ en´ eral E
|Y n |
= Y n 1 tend vers 0 en d´ ecroissant.
Cette remarque se d´ emontre comme suit. On a :
Y n−1 =
n
n − 1
Y n −
X n
n − 1
,
d’o` u
E[Y n−1 | Y n ] =
n
n − 1
Y n −
1
n − 1
E[X n | Y n ].
Or E[X 1 | Y n ] = · · · = E[X n | Y n ], puisque les variables al´ eatoires X 1 , . . . ,
X n sont ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees ; d’o` u
Y n = E[Y n | Y n ] =
1
n
E[X 1 | Y n ] + · · · + E[X n | Y n ]
= E[X n | Y n ].
Il en r´ esulte que
E[Y n−1 | Y n ] =
n
n − 1
Y n −
1
n − 1
Y n = Y n ;
d’o` u
|Y n | ≤ E
|Y n−1 | | Y n
.
En prenant l’esp´ erance math´ ematique des deux cˆ ot´ es, il vient
E
|Y n |
≤ E
|Y n−1 |
.
2. La loi forte des grands nombres. — Nous commen¸ cons par donner
un ´ enonc´ e de la loi forte des grands nombres pour les variables al´ eatoires de
L
2 . (On peut trouver sa d´ emonstration dans l’ouvrage de Fourgeaud-Fuchs
(op. cit.).)
Th´ eor` eme 2.1 (Loi forte des grands nombres pour les variables al´ eatoires
de L
2 ). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
2 , centr´ ees
et ind´ ependantes. Pour tout n ≥ 1, on pose Var X n = σ
2
n < +∞ et, comme
pr´ ec´ edemment
(2.1)
S n =
n
k=1
X k ,
Y n =
S n
n
(n ≥ 1).
Si la s´ erie
n≥1 σ
2
n /n
2 est convergente, alors la suite (Y n ) tend vers 0 presque
sˆ urement.
Th´ eor` eme 2.2 (Rajchman). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables
al´ eatoires de L
2 , centr´ ees et ind´ ependantes. Pour tout n ≥ 1, on pose
Var X n = σ
2
n et on reprend les notations (2.1) ci-dessus. Si sup n σ
2
n < +∞,
alors
a) Y n → 0 presque sˆ urement.
b) Y n → 0 dans L
2 .