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CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
Lemme 1.7. — Pour tout ε > 0 il existe une fonction f bor´ elienne et
born´ ee sur R, telle que f ◦ X 1 soit centr´ ee et v´ erifie la relation
X 1 − f ◦ X 1 1 < ε.
En outre, f ne d´ epend que de la loi de X 1 .
D´ emonstration du lemme
a) Donnons-nous ε > 0 ; puisque X 1 est dans L
1 , on peut choisir c > 0
assez grand pour que la fonction
g(x) = x I [−c,+c] =
x, si |x| ≤ c ;
0, sinon ;
v´ erifie
X 1 − g ◦ X 1 1 =
{|x|>c}
|x| dµ(x) < ε.
b) La fonction g ne convient pas n´ ecessairement, puisque g ◦X 1 n’est pas
n´ ecessairement centr´ ee ; pour r´ ealiser la condition de centrage, on introduit
la fonction
f (x) = g(x) − m,
o` u m = E[g ◦ X 1 ],
c’est-` a-dire
f (x) = x I [−c,+c] (x) −
[−c,+c]
x dµ(x).
c) La fonction f convient pour c assez grand ; en effet, f ◦ X 1 est
centr´ ee par construction ; pour voir qu’elle v´ erifie X 1 − f ◦ X 1 1 < ε, on
op` ere comme suit. On choisit c tel que X 1 − g ◦ X 1 1 < ε ; ceci est possible
d’apr` es a). On a alors, puisque X 1 est centr´ ee, les relations
|m| = |E[X 1 ] − m| = |E[X 1 ] − E[g ◦ X 1 ]| ≤ ≤X 1 − g ◦ X 1 1 < ε.
d’o` u, en d´ efinitive,
X 1 − f ◦ X 1 1 ≤ ≤X 1 − g ◦ X 1 1 + |m| < 2ε.
Revenons ` a la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1.6. Posons X
n = f ◦ X n ,
S
n = X
1 + · · · + X
n et Y
n = X
n /n. Les variables al´ eatoires X
n sont centr´ ees,
ind´ ependantes deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. Elles sont, de plus,
born´ ees, donc dans L
2 . Il r´ esulte alors du Th´ eor` eme 1.3 que Y
n → 0 dans
L
2 , donc dans L
1 . D’autre part,
Y n − Y
n 1 ≤
1
n
n
k=1
X k − X
k 1 .
Or, pour tout k = 1, . . . , n, l’expression X k − X
k 1 ne d´ epend que de la loi
commune des X n ; toutes ces quantit´ es sont donc ´ egales, d’o` u
Y n − Y
n 1 ≤ ≤X 1 − X
1 1 < ε.
Enfin, on a
Y n 1 ≤ ≤Y n − Y
n 1 + Y
n 1 ,
d’o` u, pour n assez grand, Y n 1 < 2ε ; ainsi la suite de terme g´ en´ eral
Y n 1 = E
|Y n |
converge bien vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
Lemme 1.7. — Pour tout ε > 0 il existe une fonction f bor´ elienne et
born´ ee sur R, telle que f ◦ X 1 soit centr´ ee et v´ erifie la relation
X 1 − f ◦ X 1 1 < ε.
En outre, f ne d´ epend que de la loi de X 1 .
D´ emonstration du lemme
a) Donnons-nous ε > 0 ; puisque X 1 est dans L
1 , on peut choisir c > 0
assez grand pour que la fonction
g(x) = x I [−c,+c] =
x, si |x| ≤ c ;
0, sinon ;
v´ erifie
X 1 − g ◦ X 1 1 =
{|x|>c}
|x| dµ(x) < ε.
b) La fonction g ne convient pas n´ ecessairement, puisque g ◦X 1 n’est pas
n´ ecessairement centr´ ee ; pour r´ ealiser la condition de centrage, on introduit
la fonction
f (x) = g(x) − m,
o` u m = E[g ◦ X 1 ],
c’est-` a-dire
f (x) = x I [−c,+c] (x) −
[−c,+c]
x dµ(x).
c) La fonction f convient pour c assez grand ; en effet, f ◦ X 1 est
centr´ ee par construction ; pour voir qu’elle v´ erifie X 1 − f ◦ X 1 1 < ε, on
op` ere comme suit. On choisit c tel que X 1 − g ◦ X 1 1 < ε ; ceci est possible
d’apr` es a). On a alors, puisque X 1 est centr´ ee, les relations
|m| = |E[X 1 ] − m| = |E[X 1 ] − E[g ◦ X 1 ]| ≤ ≤X 1 − g ◦ X 1 1 < ε.
d’o` u, en d´ efinitive,
X 1 − f ◦ X 1 1 ≤ ≤X 1 − g ◦ X 1 1 + |m| < 2ε.
Revenons ` a la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1.6. Posons X
n = f ◦ X n ,
S
n = X
1 + · · · + X
n et Y
n = X
n /n. Les variables al´ eatoires X
n sont centr´ ees,
ind´ ependantes deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. Elles sont, de plus,
born´ ees, donc dans L
2 . Il r´ esulte alors du Th´ eor` eme 1.3 que Y
n → 0 dans
L
2 , donc dans L
1 . D’autre part,
Y n − Y
n 1 ≤
1
n
n
k=1
X k − X
k 1 .
Or, pour tout k = 1, . . . , n, l’expression X k − X
k 1 ne d´ epend que de la loi
commune des X n ; toutes ces quantit´ es sont donc ´ egales, d’o` u
Y n − Y
n 1 ≤ ≤X 1 − X
1 1 < ε.
Enfin, on a
Y n 1 ≤ ≤Y n − Y
n 1 + Y
n 1 ,
d’o` u, pour n assez grand, Y n 1 < 2ε ; ainsi la suite de terme g´ en´ eral
Y n 1 = E
|Y n |
converge bien vers 0 lorsque n tend vers l’infini.