1. LA LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES
227
D´ emonstration. — Pour tout n ≥ 1 posons Var X n = σ
2
n = σ
2 < +∞.
Alors
1
n 2
n
k=1
σ
2
k =
σ
2
n
→ 0 ;
d’o` u le r´ esultat en vertu du Th´ eor` eme 1.1.
Remarque 1. — Le Th´ eor` eme 1.3 est naturellement valable si les variables
al´ eatoires X n sont ind´ ependantes ou seulement ind´ ependantes deux ` a deux.
Remarque 2. — La suite de terme g´ en´ eral E[Y
2
n ] tend vers 0 en d´ ecroissant ;
en effet, E[Y
2
n ] = σ
2 /n ↓ 0.
Application 1.4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
2 , deux `
a deux non corr´ el´ ees, identiquement distribu´ ees. D´ esignons par
µ l’esp´ erance math´ ematique commune des X n ; alors
1
n
n
k=1 X k tend vers µ
dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Appliquons le Th´ eor` eme 1.3 ` a la suite (X n −µ) (n ≥ 1)
de variables al´ eatoires centr´ ees ; il vient
1
n
n
k=1
(X k − µ) =
1
n
n
k=1
X k − µ → 0
dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
Application 1.5. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees de loi commune pε 1 + qε 0 (0 ≤ p ≤
1, p+q = 1). Alors
1
n
n
k=1 X k tend vers p dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
C’est l’exemple classique du jeu de pile ou face , dˆ u `
a Bernoulli.
Nous venons de voir que si les variables al´ eatoires sont de L
2 , la d´ emonstration de la loi faible des grands nombres (Th´ eor` emes 1.1 et 1.3) est particuli` erement simple. En fait, on peut s’affranchir de cette hypoth` ese et supposer que les variables al´ eatoires sont seulement de L
1 , pourvu qu’elles soient, en
outre, ind´ ependantes deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. La d´ emonstration de la loi faible des grands nombres dans ce cas est plus ´ elabor´ ee et
fait appel `
a des techniques de troncature et de centrage, comme nous allons
le voir.
Th´ eor` eme 1.6 (Loi faible des grands nombres dans L
1 pour variables
al´ eatoires ind´ ependantes deux `
a deux, identiquement distribu´ ees). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
1 , centr´ ees, ind´ ependantes
deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. En utilisant les notations (1.1), on
a alors : Y n → 0 dans L
1 , donc aussi Y n → 0 en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Si les X n ´ etaient dans L
2 , le th´ eor` eme serait d´ emontr´ e,
car, d’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, on aurait Y n → 0 dans L
2 , donc dans L
1 . L’id´ ee
de la d´ emonstration est de se ramener au cas de L
2 par des techniques de
troncature et de centrage. Nous avons besoin du lemme suivant.
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D´ emonstration. — Pour tout n ≥ 1 posons Var X n = σ
2
n = σ
2 < +∞.
Alors
1
n 2
n
k=1
σ
2
k =
σ
2
n
→ 0 ;
d’o` u le r´ esultat en vertu du Th´ eor` eme 1.1.
Remarque 1. — Le Th´ eor` eme 1.3 est naturellement valable si les variables
al´ eatoires X n sont ind´ ependantes ou seulement ind´ ependantes deux ` a deux.
Remarque 2. — La suite de terme g´ en´ eral E[Y
2
n ] tend vers 0 en d´ ecroissant ;
en effet, E[Y
2
n ] = σ
2 /n ↓ 0.
Application 1.4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
2 , deux `
a deux non corr´ el´ ees, identiquement distribu´ ees. D´ esignons par
µ l’esp´ erance math´ ematique commune des X n ; alors
1
n
n
k=1 X k tend vers µ
dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Appliquons le Th´ eor` eme 1.3 ` a la suite (X n −µ) (n ≥ 1)
de variables al´ eatoires centr´ ees ; il vient
1
n
n
k=1
(X k − µ) =
1
n
n
k=1
X k − µ → 0
dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
Application 1.5. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees de loi commune pε 1 + qε 0 (0 ≤ p ≤
1, p+q = 1). Alors
1
n
n
k=1 X k tend vers p dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
C’est l’exemple classique du jeu de pile ou face , dˆ u `
a Bernoulli.
Nous venons de voir que si les variables al´ eatoires sont de L
2 , la d´ emonstration de la loi faible des grands nombres (Th´ eor` emes 1.1 et 1.3) est particuli` erement simple. En fait, on peut s’affranchir de cette hypoth` ese et supposer que les variables al´ eatoires sont seulement de L
1 , pourvu qu’elles soient, en
outre, ind´ ependantes deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. La d´ emonstration de la loi faible des grands nombres dans ce cas est plus ´ elabor´ ee et
fait appel `
a des techniques de troncature et de centrage, comme nous allons
le voir.
Th´ eor` eme 1.6 (Loi faible des grands nombres dans L
1 pour variables
al´ eatoires ind´ ependantes deux `
a deux, identiquement distribu´ ees). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
1 , centr´ ees, ind´ ependantes
deux `
a deux et identiquement distribu´ ees. En utilisant les notations (1.1), on
a alors : Y n → 0 dans L
1 , donc aussi Y n → 0 en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Si les X n ´ etaient dans L
2 , le th´ eor` eme serait d´ emontr´ e,
car, d’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, on aurait Y n → 0 dans L
2 , donc dans L
1 . L’id´ ee
de la d´ emonstration est de se ramener au cas de L
2 par des techniques de
troncature et de centrage. Nous avons besoin du lemme suivant.