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CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
la loi faible des grands nombres. Voici quelques ´ enonc´ es, o` u l’on convient de
poser pour tout n ≥ 1 :
(1.1)
S n =
n
k=1
X k ,
Y n =
S n
n
.
Th´ eor` eme 1.1 (Loi faible des grands nombres dans L
2 pour variables
al´ eatoires deux `
a deux non corr´ el´ ees). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de
variables al´ eatoires de L
2 , deux `
a deux non corr´ el´ ees, centr´ ees. Pour tout
n ≥ 1 on pose Var X n = σ
2
n < +∞. Si (1/n
2 )
n
k=1 σ
2
k tend vers 0 lorsque
n tend vers l’infini, alors Y n tend vers 0 dans L
2 , d’o` u aussi Y n → 0 en
probabilit´ e.
D´ emonstration. — Puisque les X n sont deux `
a deux non corr´ el´ ees, on a,
pour tout n ≥ 1
E[Y
2
n ] = Var Y n =
1
n 2 Var S n =
1
n 2
n
k=1
σ
2
k ,
d’o` u E[Y
2
n ] → 0 lorsque n tend vers l’infini, c’est-` a-dire Y n → 0 dans L
2 . La
convergence en probabilit´ e de Y n vers 0 s’en d´ eduit imm´ ediatement en vertu
de l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev.
Remarques. — Le Th´ eor` eme 1.1 est naturellement valable si les variables
al´ eatoires X n sont ind´ ependantes ou simplement ind´ ependantes deux ` a deux.
Application 1.2. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
2 deux `
a deux non corr´ el´ ees. Pour tout n ≥ 1 posons E[X n ] = µ n
et supposons que la suite de terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 µ k tend vers µ et que
(1/n
2 )
n
k=1 σ
2
k tend vers 0, lorsque n tend vers l’infini. Alors la suite
(
1
n
n
k=1 X k ) tend vers µ dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Appliquons le Th´ eor` eme 1.1 ` a la suite (X n − µ n )
(n ≥ 1) de variables al´ eatoires centr´ ees ; on a :
1
n
n
k=1
(X k − µ k ) =
1
n
n
k=1
X k −
1
n
n
k=1
µ k → 0
dans L
2 , donc en probabilit´ e. Le r´ esultat en d´ ecoule.
Le th´ eor` eme suivant concernant des suites de variables identiquement
distribu´ ees est un corollaire du Th´ eor` eme 1.1.
Th´ eor` eme 1.3 (Loi faible des grands nombres dans L
2 pour les variables
al´ eatoires deux `
a deux non corr´ el´ ees, identiquement distribu´ ees). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
2 , centr´ ees, deux `
a deux
non corr´ el´ ees et identiquement distribu´ ees. Alors Y n → 0 dans L
2 , d’o` u aussi
Y n → 0 en probabilit´ e.
CHAPITRE 17 : LOIS DES GRANDS NOMBRES
la loi faible des grands nombres. Voici quelques ´ enonc´ es, o` u l’on convient de
poser pour tout n ≥ 1 :
(1.1)
S n =
n
k=1
X k ,
Y n =
S n
n
.
Th´ eor` eme 1.1 (Loi faible des grands nombres dans L
2 pour variables
al´ eatoires deux `
a deux non corr´ el´ ees). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de
variables al´ eatoires de L
2 , deux `
a deux non corr´ el´ ees, centr´ ees. Pour tout
n ≥ 1 on pose Var X n = σ
2
n < +∞. Si (1/n
2 )
n
k=1 σ
2
k tend vers 0 lorsque
n tend vers l’infini, alors Y n tend vers 0 dans L
2 , d’o` u aussi Y n → 0 en
probabilit´ e.
D´ emonstration. — Puisque les X n sont deux `
a deux non corr´ el´ ees, on a,
pour tout n ≥ 1
E[Y
2
n ] = Var Y n =
1
n 2 Var S n =
1
n 2
n
k=1
σ
2
k ,
d’o` u E[Y
2
n ] → 0 lorsque n tend vers l’infini, c’est-` a-dire Y n → 0 dans L
2 . La
convergence en probabilit´ e de Y n vers 0 s’en d´ eduit imm´ ediatement en vertu
de l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev.
Remarques. — Le Th´ eor` eme 1.1 est naturellement valable si les variables
al´ eatoires X n sont ind´ ependantes ou simplement ind´ ependantes deux ` a deux.
Application 1.2. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
de L
2 deux `
a deux non corr´ el´ ees. Pour tout n ≥ 1 posons E[X n ] = µ n
et supposons que la suite de terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 µ k tend vers µ et que
(1/n
2 )
n
k=1 σ
2
k tend vers 0, lorsque n tend vers l’infini. Alors la suite
(
1
n
n
k=1 X k ) tend vers µ dans L
2 , donc aussi en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Appliquons le Th´ eor` eme 1.1 ` a la suite (X n − µ n )
(n ≥ 1) de variables al´ eatoires centr´ ees ; on a :
1
n
n
k=1
(X k − µ k ) =
1
n
n
k=1
X k −
1
n
n
k=1
µ k → 0
dans L
2 , donc en probabilit´ e. Le r´ esultat en d´ ecoule.
Le th´ eor` eme suivant concernant des suites de variables identiquement
distribu´ ees est un corollaire du Th´ eor` eme 1.1.
Th´ eor` eme 1.3 (Loi faible des grands nombres dans L
2 pour les variables
al´ eatoires deux `
a deux non corr´ el´ ees, identiquement distribu´ ees). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires de L
2 , centr´ ees, deux `
a deux
non corr´ el´ ees et identiquement distribu´ ees. Alors Y n → 0 dans L
2 , d’o` u aussi
Y n → 0 en probabilit´ e.