CHAPITRE 17
LOIS DES GRANDS NOMBRES
A l’origine du calcul des probabilit´ es se trouve le d´ esir de fournir des
mod` eles ` a certains faits exp´ erimentaux que l’on appelait confus´ ement lois
empiriques du hasard et qui se manifestent par une ´ etonnante stabilit´ e
des fr´ equences d’un ´ ev` enement quand on donne `
a celui-ci un grand nombre
d’occasions de se produire. Ainsi, par exemple, on s’est aper¸ cu il y a fort longtemps qu’en lan¸ cant un grand nombre de fois une pi` ece de monnaie parfaite,
la fr´ equence d’apparition de pile se stabilise autour de la valeur
1
2 , valeur
qu’on ´ etait tent´ e de d´ efinir comme la probabilit´ e d’apparition de pile .
C’est J. Bernoulli (Ars Conjectandi, ) qui, le premier, a fourni
un mod` ele rendant compte de ce ph´ enom` ene ; il a introduit un mode de
convergence proche de la convergence en probabilit´ e et il a montr´ e que la suite
des fr´ equences d’apparition de pile converge, selon ce mode, vers la valeur
1
2 , la probabilit´ e th´ eorique d’apparition de pile . Les arguments de Bernoulli
sont de nature combinatoire et fort compliqu´ es. Ils ont ´ et´ e consid´ erablement
simplifi´ es par Tchebychev, grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e qui porte son nom et que luimˆ eme a introduite `
a cette occasion. Le probl` eme ´ etudi´ e par J. Bernoulli a
´ et´ e consid´ erablement g´ en´ eralis´ e et a donn´ e naissance aux diff´ erentes versions
de la loi des grands nombres.
Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles centr´ ees. On
cherche des conditions suffisantes pour que la suite de variables al´ eatoires
1
n
n
k=1
X k
(n ≥ 1)
converge vers 0 au sens de l’un des types de convergence introduits au chapitre
16. Seules les convergences en probabilit´ e et presque sˆ ure ont fait l’objet d’une
´ etude syst´ ematique. On parle respectivement de loi faible et de loi forte des
grands nombres.
D´ efinition. — La suite (X n ) (n ≥ 1) satisfait la loi faible des grands
nombres si la suite de terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 X k converge vers 0 en probabilit´ e.
La suite (X n ) (n ≥ 1) satisfait la loi forte des grands nombres si la suite de
terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 X k converge vers 0 presque sˆ urement.
1. La loi faible des grands nombres. — Il existe plusieurs conditions
suffisantes pour qu’une suite de variables al´ eatoires (X n ) (n ≥ 1) satisfasse
LOIS DES GRANDS NOMBRES
A l’origine du calcul des probabilit´ es se trouve le d´ esir de fournir des
mod` eles ` a certains faits exp´ erimentaux que l’on appelait confus´ ement lois
empiriques du hasard et qui se manifestent par une ´ etonnante stabilit´ e
des fr´ equences d’un ´ ev` enement quand on donne `
a celui-ci un grand nombre
d’occasions de se produire. Ainsi, par exemple, on s’est aper¸ cu il y a fort longtemps qu’en lan¸ cant un grand nombre de fois une pi` ece de monnaie parfaite,
la fr´ equence d’apparition de pile se stabilise autour de la valeur
1
2 , valeur
qu’on ´ etait tent´ e de d´ efinir comme la probabilit´ e d’apparition de pile .
C’est J. Bernoulli (Ars Conjectandi, ) qui, le premier, a fourni
un mod` ele rendant compte de ce ph´ enom` ene ; il a introduit un mode de
convergence proche de la convergence en probabilit´ e et il a montr´ e que la suite
des fr´ equences d’apparition de pile converge, selon ce mode, vers la valeur
1
2 , la probabilit´ e th´ eorique d’apparition de pile . Les arguments de Bernoulli
sont de nature combinatoire et fort compliqu´ es. Ils ont ´ et´ e consid´ erablement
simplifi´ es par Tchebychev, grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e qui porte son nom et que luimˆ eme a introduite `
a cette occasion. Le probl` eme ´ etudi´ e par J. Bernoulli a
´ et´ e consid´ erablement g´ en´ eralis´ e et a donn´ e naissance aux diff´ erentes versions
de la loi des grands nombres.
Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles centr´ ees. On
cherche des conditions suffisantes pour que la suite de variables al´ eatoires
1
n
n
k=1
X k
(n ≥ 1)
converge vers 0 au sens de l’un des types de convergence introduits au chapitre
16. Seules les convergences en probabilit´ e et presque sˆ ure ont fait l’objet d’une
´ etude syst´ ematique. On parle respectivement de loi faible et de loi forte des
grands nombres.
D´ efinition. — La suite (X n ) (n ≥ 1) satisfait la loi faible des grands
nombres si la suite de terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 X k converge vers 0 en probabilit´ e.
La suite (X n ) (n ≥ 1) satisfait la loi forte des grands nombres si la suite de
terme g´ en´ eral
1
n
n
k=1 X k converge vers 0 presque sˆ urement.
1. La loi faible des grands nombres. — Il existe plusieurs conditions
suffisantes pour qu’une suite de variables al´ eatoires (X n ) (n ≥ 1) satisfasse