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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Pour x > 0, on a P{Z n ≤ x} =
P{X ≤ n
1/λ x}
n = (1 − P{X >
n
1/λ x})
n =
1 −
α
nx λ + o(1/n)
n
, une expression qui tend vers e
−αx
−λ
lorsque n tend vers l’infini.
Pour a) on peut prendre comme exemple pour L(X) la premi` ere loi de
Laplace, ou bien N (0, 1) et pour b) la loi de Cauchy C(0, 1) avec α = 1/π et
λ = 1.
17. (E. Khalili). — On conserve les mˆ emes hypoth` eses que dans l’exercice 10 au sujet de la suite des variables al´ eatoires (X n ).
a) Calculer explicitement la fonction de r´ epartition F n de X n et en
d´ eduire X n
L
−→ 0.
b) Montrer que X n
p.s.
−→ 0.
Les indications donn´ ees ci-apr` es tiennent lieu de solution. Pour ´ evaluer F n (y),
distinguer les quatre cas : y < 0, y = 0, 0 < y ≤
√
n,
√
n < y. On obtient :
F n (y) = 0, 1 −
1
n
, 1 −
1
n
ou 1 −
1
y 2 , selon que y < 0, y = 0, 0 < y ≤
√
n ou
√
n < y. On a donc lim n F n (y) = 0 pour y < 0 et lim n F n (y) = 1 pour y ≥ 0.
Pour b) il suffit de remarquer que pour 0 < x ≤ 1, on a X n (x) → 0,
lorsque n tend vers l’infini et que λ{ ]0, 1] } = 1.
18. — Soit (X n ) (n ≥ 0) une suite de variables al´ eatoires absolument
continues, de support R, la densit´ e de X n ´ etant donn´ ee par
f n (x) =
n/2π,
si x = 0 ;
1 − cos(nx)
n π x 2 , si x = 0.
1) V´ erifier que pour tout n ≥ 1 la fonction f n est une densit´ e de
probabilit´ e.
2) On pose F (x) =
x
−∞
f n (t) dt. Montrer que
lim
n→∞
F n (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0 ;
c’est-` a-dire que X n
L
−→ 0. (On rappelle que
1
π
+∞
−∞
sin t
t
2
dt = 1.)
Remarque 1. — La suite (f n ) v´ erifie lim
n→∞
f n (x) =
+∞, si x = 0 ;
0,
si x = 0 ;
et la limite en loi de la suite (X n ) n’est pas absolument continue.
Remarque 2. — La loi de X n admet pour fonction caract´ eristique ϕ n (t) =
1 −
|t|
n
I [−n,+n] (t). C’est une loi triangulaire de Khintchine.
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Pour x > 0, on a P{Z n ≤ x} =
P{X ≤ n
1/λ x}
n = (1 − P{X >
n
1/λ x})
n =
1 −
α
nx λ + o(1/n)
n
, une expression qui tend vers e
−αx
−λ
lorsque n tend vers l’infini.
Pour a) on peut prendre comme exemple pour L(X) la premi` ere loi de
Laplace, ou bien N (0, 1) et pour b) la loi de Cauchy C(0, 1) avec α = 1/π et
λ = 1.
17. (E. Khalili). — On conserve les mˆ emes hypoth` eses que dans l’exercice 10 au sujet de la suite des variables al´ eatoires (X n ).
a) Calculer explicitement la fonction de r´ epartition F n de X n et en
d´ eduire X n
L
−→ 0.
b) Montrer que X n
p.s.
−→ 0.
Les indications donn´ ees ci-apr` es tiennent lieu de solution. Pour ´ evaluer F n (y),
distinguer les quatre cas : y < 0, y = 0, 0 < y ≤
√
n,
√
n < y. On obtient :
F n (y) = 0, 1 −
1
n
, 1 −
1
n
ou 1 −
1
y 2 , selon que y < 0, y = 0, 0 < y ≤
√
n ou
√
n < y. On a donc lim n F n (y) = 0 pour y < 0 et lim n F n (y) = 1 pour y ≥ 0.
Pour b) il suffit de remarquer que pour 0 < x ≤ 1, on a X n (x) → 0,
lorsque n tend vers l’infini et que λ{ ]0, 1] } = 1.
18. — Soit (X n ) (n ≥ 0) une suite de variables al´ eatoires absolument
continues, de support R, la densit´ e de X n ´ etant donn´ ee par
f n (x) =
n/2π,
si x = 0 ;
1 − cos(nx)
n π x 2 , si x = 0.
1) V´ erifier que pour tout n ≥ 1 la fonction f n est une densit´ e de
probabilit´ e.
2) On pose F (x) =
x
−∞
f n (t) dt. Montrer que
lim
n→∞
F n (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0 ;
c’est-` a-dire que X n
L
−→ 0. (On rappelle que
1
π
+∞
−∞
sin t
t
2
dt = 1.)
Remarque 1. — La suite (f n ) v´ erifie lim
n→∞
f n (x) =
+∞, si x = 0 ;
0,
si x = 0 ;
et la limite en loi de la suite (X n ) n’est pas absolument continue.
Remarque 2. — La loi de X n admet pour fonction caract´ eristique ϕ n (t) =
1 −
|t|
n
I [−n,+n] (t). C’est une loi triangulaire de Khintchine.