COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
223
11. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ; posons
Y n =
1
n
n
k=1
X k (n ≥ 1). De X n
p
−→ 0, on ne peut d´ eduire Y n
p
−→ 0. Autrement
dit, le th´ eor` eme de C´ esaro n’est pas vrai pour la convergence en probabilit´ e ;
en revanche, il l’est pour la convergence presque sˆ ure.
[Prendre pour loi de X n la loi (1/n)ε n + (1 − 1/n)ε 0 (n ≥ 1) et supposer les
X n ind´ ependantes.]
12. — Soient U une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1] et
(U n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes ayant chacune
la mˆ eme loi que U . Soit d’autre part Y une variable al´ eatoire exponentielle
de param` etre 1. Pour tout n ≥ 1, on pose Z n = n min(U 1 , . . . , U n ). Montrer
que Z n
L
−→ Y .
13. — Soit X une variable al´ eatoire exponentielle de param` etre λ > 0.
D´ eterminer la loi de la variable al´ eatoire e
−λX .
14. — On d´ esigne par (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, toutes exponentielles de mˆ eme param` etre λ > 0. D´ eterminer
les limites en loi des suites de terme g´ en´ eral :
a) A n = n min(e
−λX 1 , . . . , e
−λX n ) ;
b) B n = n
1/λ min(e
−X 1 , . . . , e
−X n ) ;
c) C n = n
−1/λ max(e
X 1 , . . . , e
X n ) ;
d) D n = max(X 1 , . . . , X n ) − Log n, lorsque le param` etre λ vaut 1.
[Utiliser les exercices 12 et 13.]
15. — Soient X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans [0, +∞[ et (X n )
(n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, admettant toutes
mˆ eme loi que X. Montrer que
a) si P{X > x} = o(1/x) lorsque x tend vers l’infini, alors Z n =
1
n
max(X 1 , . . . , X n )
L
−→ 0 ;
b) si P{X > x} ∼ α/x
λ lorsque x tend vers l’infini, avec α, λ > 0, alors
Z n =
1
n 1/λ max(X 1 , . . . , X n )
L
−→ Y,
o` u Y est une variable al´ eatoire de Fr´ echet, dont la fonction de r´ epartition,
pour x > 0, est donn´ ee par P{Y ≤ x} = e
−αx
−λ .
16. — Reprenons les notations de l’Exercice 15, mais supposons X ` a
valeurs dans R et de loi sym´ etrique. Alors les affirmations a) et b) de
l’Exercice 15 sont encore valables. Nous le montrons pour b) :
Pour x < 0, on a P{Z n ≤ x} =
P{X ≤ n
1/λ x}
n , qui est ´ egal, puisque
L(X) est sym´ etrique, `
a
P{X > n
1/λ
|x|}
n ∼
α
n(|x|) λ
n
, qui tend vers 0
lorsque n tend vers l’infini.
EMENTS ET EXERCICES
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11. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ; posons
Y n =
1
n
n
k=1
X k (n ≥ 1). De X n
p
−→ 0, on ne peut d´ eduire Y n
p
−→ 0. Autrement
dit, le th´ eor` eme de C´ esaro n’est pas vrai pour la convergence en probabilit´ e ;
en revanche, il l’est pour la convergence presque sˆ ure.
[Prendre pour loi de X n la loi (1/n)ε n + (1 − 1/n)ε 0 (n ≥ 1) et supposer les
X n ind´ ependantes.]
12. — Soient U une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1] et
(U n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes ayant chacune
la mˆ eme loi que U . Soit d’autre part Y une variable al´ eatoire exponentielle
de param` etre 1. Pour tout n ≥ 1, on pose Z n = n min(U 1 , . . . , U n ). Montrer
que Z n
L
−→ Y .
13. — Soit X une variable al´ eatoire exponentielle de param` etre λ > 0.
D´ eterminer la loi de la variable al´ eatoire e
−λX .
14. — On d´ esigne par (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, toutes exponentielles de mˆ eme param` etre λ > 0. D´ eterminer
les limites en loi des suites de terme g´ en´ eral :
a) A n = n min(e
−λX 1 , . . . , e
−λX n ) ;
b) B n = n
1/λ min(e
−X 1 , . . . , e
−X n ) ;
c) C n = n
−1/λ max(e
X 1 , . . . , e
X n ) ;
d) D n = max(X 1 , . . . , X n ) − Log n, lorsque le param` etre λ vaut 1.
[Utiliser les exercices 12 et 13.]
15. — Soient X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans [0, +∞[ et (X n )
(n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, admettant toutes
mˆ eme loi que X. Montrer que
a) si P{X > x} = o(1/x) lorsque x tend vers l’infini, alors Z n =
1
n
max(X 1 , . . . , X n )
L
−→ 0 ;
b) si P{X > x} ∼ α/x
λ lorsque x tend vers l’infini, avec α, λ > 0, alors
Z n =
1
n 1/λ max(X 1 , . . . , X n )
L
−→ Y,
o` u Y est une variable al´ eatoire de Fr´ echet, dont la fonction de r´ epartition,
pour x > 0, est donn´ ee par P{Y ≤ x} = e
−αx
−λ .
16. — Reprenons les notations de l’Exercice 15, mais supposons X ` a
valeurs dans R et de loi sym´ etrique. Alors les affirmations a) et b) de
l’Exercice 15 sont encore valables. Nous le montrons pour b) :
Pour x < 0, on a P{Z n ≤ x} =
P{X ≤ n
1/λ x}
n , qui est ´ egal, puisque
L(X) est sym´ etrique, `
a
P{X > n
1/λ
|x|}
n ∼
α
n(|x|) λ
n
, qui tend vers 0
lorsque n tend vers l’infini.