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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
5. — Pour tout entier n ≥ 0 et tout nombre p tel que 0 ≤ p ≤ 1,
on pose B(n, p; k) =
n
k
p
k q
n−k . Montrer que si n tend vers +∞ et p tend
vers 0 de sorte que np = λ reste constant, alors, pour tout k ≥ 0, on a
B(n, p; k) → π(k; λ) = e
−λ λ
k /k!. Si donc pour chaque entier n la variable
X n est une variable binomiale de param` etres p = λ/n, n, alors la suite (X n )
converge en loi vers une variable al´ eatoire de Poisson de param` etre λ.
6. — Soient X une variable al´ eatoire centr´ ee et ε un nombre strictement
positif.
a) On pose : g(ε) = E[e
εX ]. ´
Etablir l’in´ egalit´ e :
P
X ≥
t + Log g(ε)
ε
≤ e
−t ,
pour t > 0.
b) On pose g
∗ (ε) = E[e
−εX ]. ´
Etablir l’in´ egalit´ e :
P
X ≤ −
t + Log g
∗ (ε)
ε
≤ e
−t ,
pour t > 0.
7. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires du second ordre
v´ erifiant
n≥1 E[X
2
n ] < +∞. Montrer que
a) X n → 0 presque sˆ urement ;
b) X n → 0 en moyenne quadratique.
Ceci montre que si une suite de variables al´ eatoires v´ erifie la Proposition
4.2 (deuxi` eme crit` ere de convergence presque sˆ ure) pour r = 2, alors elle
converge aussi en moyenne quadratique.
8. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires du second ordre.
Posons E[X n ] = µ n , Var X n = σ
2
n et supposons que |µ n | → +∞ et que
σ
2
n / |µ n | = O(1). Montrer qu’alors X n /µ n → 1 en moyenne quadratique,
donc aussi en probabilit´ e.
9. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ ecroissante.
Montrer que si X n
p
−→ 0, alors X n
p.s.
−→ 0.
10. — Prenons pour espace probabilis´ e ([0, 1], B
1 , λ), o` u λ d´ esigne la
mesure de Lebesgue sur [0, 1]. On consid` ere la suite (X n ) (n ≥ 1) des variables
al´ eatoires d´ efinies sur cet espace par :
X n (x) =
1/
√
x, si 0 < x < 1/n ;
0,
si 1/n ≤ x ≤ 1.
Montrer que X n
p
−→ 0, mais que X n ne tend pas vers 0 en moyenne quadratique. (Voir aussi exercice 17.)