COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
221
Le fait que f est lipschitzienne de constante l implique que le premier et le
troisi` eme terme du second membre sont major´ es tous deux par l E[ |Z| ] ≤ lε.
Le deuxi` eme terme du second membre tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini,
en vertu du Th´ eor` eme 8.1 et de (9.1). Puisque ε > 0 est arbitraire, cela suffit
pour d´ emontrer (9.2).
3) D’apr` es le Th´ eor` eme 8.1, la propri´ et´ e que pour tout f ∈ H on ait
E[f ◦X n ] → E[f ◦X] est ´ equivalente `
a X n
L
−→ X. Ceci ach` eve la d´ emonstration
du Th´ eor` eme 9.1.
Corollaire. — Soient µ et ν deux lois de probabilit´ e sur R. Si ˆ
µ = ˆ
ν,
alors µ = ν.
D´ emonstration. — Prenons la suite de terme g´ en´ eral µ n = µ (n ≥ 1) ;
alors la suite (ˆ µ n ) est constante et ˆ
µ n → ˆ
µ = ˆ
ν. D’apr` es le Th´ eor` eme 9.1, la
suite (µ n ) converge ´ etroitement ` a la fois vers µ et vers ν, d’o` u µ = ν, d’apr` es
l’unicit´ e de la convergence ´ etroite.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit une suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) qui converge en
probabilit´ e vers un point al´ eatoire M = (X, Y ) (ceci entraˆ ıne que X n
p
−→ X
et Y n
p
−→ Y ). Montrer directement que :
a) X n + Y n
p
−→ X + Y ; b) X n Y n
p
−→ XY .
2. — Il n’est pas vrai en g´ en´ eral que X n
L
−→ X et Y n
L
−→ Y impliquent
X n + Y n
L
−→ X + Y , mais on a le r´ esultat suivant :
Soit une suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) telle que X n
L
−→ X et
Y n
p
−→ 0 (la variable X ´ etant d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e que les
X n ) ; alors
a) X n + Y n
L
−→ X ; b) X n Y n
p
−→ 0, donc aussi X n Y n
L
−→ 0.
Il en r´ esulte que si X n
L
−→ X et Y n
L
−→ c (c r´ eel), alors
a
) X n + Y n
L
−→ X + c ; b
) X n Y n
L
−→ cX.
3. (La convergence presque sˆ ure n’entraˆ ıne pas la convergence en moyenne
quadratique). — Consid´ erons une suite de variables al´ eatoires (X n ) de loi
P X n = (1 − 1/n
2 )ε 0 + (1/2n
2 )(ε −n + ε +n ). La suite (X n ) tend vers 0 presque
sˆ urement, mais non en moyenne quadratique.
4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires presque
sˆ urement born´ ees. Montrer que si X n
p
−→ X, alors pour tout r > 0 on a
E
|X n − X|
r → 0.
EMENTS ET EXERCICES
221
Le fait que f est lipschitzienne de constante l implique que le premier et le
troisi` eme terme du second membre sont major´ es tous deux par l E[ |Z| ] ≤ lε.
Le deuxi` eme terme du second membre tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini,
en vertu du Th´ eor` eme 8.1 et de (9.1). Puisque ε > 0 est arbitraire, cela suffit
pour d´ emontrer (9.2).
3) D’apr` es le Th´ eor` eme 8.1, la propri´ et´ e que pour tout f ∈ H on ait
E[f ◦X n ] → E[f ◦X] est ´ equivalente `
a X n
L
−→ X. Ceci ach` eve la d´ emonstration
du Th´ eor` eme 9.1.
Corollaire. — Soient µ et ν deux lois de probabilit´ e sur R. Si ˆ
µ = ˆ
ν,
alors µ = ν.
D´ emonstration. — Prenons la suite de terme g´ en´ eral µ n = µ (n ≥ 1) ;
alors la suite (ˆ µ n ) est constante et ˆ
µ n → ˆ
µ = ˆ
ν. D’apr` es le Th´ eor` eme 9.1, la
suite (µ n ) converge ´ etroitement ` a la fois vers µ et vers ν, d’o` u µ = ν, d’apr` es
l’unicit´ e de la convergence ´ etroite.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit une suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) qui converge en
probabilit´ e vers un point al´ eatoire M = (X, Y ) (ceci entraˆ ıne que X n
p
−→ X
et Y n
p
−→ Y ). Montrer directement que :
a) X n + Y n
p
−→ X + Y ; b) X n Y n
p
−→ XY .
2. — Il n’est pas vrai en g´ en´ eral que X n
L
−→ X et Y n
L
−→ Y impliquent
X n + Y n
L
−→ X + Y , mais on a le r´ esultat suivant :
Soit une suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) telle que X n
L
−→ X et
Y n
p
−→ 0 (la variable X ´ etant d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e que les
X n ) ; alors
a) X n + Y n
L
−→ X ; b) X n Y n
p
−→ 0, donc aussi X n Y n
L
−→ 0.
Il en r´ esulte que si X n
L
−→ X et Y n
L
−→ c (c r´ eel), alors
a
) X n + Y n
L
−→ X + c ; b
) X n Y n
L
−→ cX.
3. (La convergence presque sˆ ure n’entraˆ ıne pas la convergence en moyenne
quadratique). — Consid´ erons une suite de variables al´ eatoires (X n ) de loi
P X n = (1 − 1/n
2 )ε 0 + (1/2n
2 )(ε −n + ε +n ). La suite (X n ) tend vers 0 presque
sˆ urement, mais non en moyenne quadratique.
4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires presque
sˆ urement born´ ees. Montrer que si X n
p
−→ X, alors pour tout r > 0 on a
E
|X n − X|
r → 0.