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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
ˆ
µ n la transform´ ee de Fourier de µ n . De mˆ eme, d´ esignons par µ et ˆ
µ la loi
de X et la transform´ ee de Fourier de µ. Si ˆ
µ n → ˆ
µ, au sens de la convergence
simple, alors X n
L
−→ X.
D´ emonstration. — Elle repose sur deux lemmes. Le premier lemme est le
Lemme 7.2 du chapitre 13, utilis´ e pour d´ emontrer que la fonction caract´ eristique d´ eterminait la mesure. Par commodit´ e ici, appelons-le “Lemme 1.” Le
second lemme s’´ enonce comme suit.
Lemme 2. — Donnons-nous une suite (µ n ) de mesures de probabilit´ e
sur R, une mesure de probabilit´ e µ sur R et une densit´ e de probabilit´ e g sur R
v´ erifiant la propri´ et´ e ancipitale du Lemme 1, `
a savoir qu’elle est aussi, `
a un
facteur pr` es, la fonction caract´ eristique d’une densit´ e de probabilit´ e sur R. Si
ˆ
µ n → ˆ
µ au sens de la convergence simple, alors µ n ∗ g → µ ∗ g ´ etroitement.
D´ emonstration. — D´ esignons par h n , h les densit´ es de µ n ∗ g, µ ∗ g,
respectivement. On a, d’apr` es le Lemme 1
h n (u) = c
R
e
iux f (x) ˆ
µ n (−x) dx.
Or, pour tout n, la fonction |ˆ µ n | est major´ ee par 1 (qui est int´ egrable pour la
mesure fλ) et ˆ
µ n → ˆ
µ au sens de la convergence simple. D’apr` es le th´ eor` eme
de convergence domin´ ee (Th´ eor` eme 9.3 du chap. 10), on a donc
h n (u) → c
R
e
iux f (x) ˆ
µ(−x) dx = h(u),
lorsque n tend vers l’infini. Il r´ esulte alors du th´ eor` eme de Scheff´ e 6.2 que
µ n ∗ g → µ ∗ g ´ etroitement.
Revenons ` a pr´ esent ` a la d´ emonstration du Th´ eor` eme 9.1.
1) Pour tout ε > 0, on peut construire une variable al´ eatoire Z,
ind´ ependante de la suite (X n ) et de X, admettant une densit´ e g ayant la
propri´ et´ e ancipitale et telle que E[ |Z| ] < ε. (Par exemple, si Y est une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1), la variable al´ eatoire Z = Y convient,
puisqu’une densit´ e normale a la propri´ et´ e ancipitale). Le Lemme 2 peut alors
s’´ ecrire :
(9.1)
∀ ε > 0
X n + Z
L
−→ X + Z.
2) Soit H la classe des fonctions lipschitziennes born´ ees sur R. Nous
allons montrer que pour tout f dans H on a :
(9.2)
E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X].
En effet, soit f born´ ee lipschitzienne de constante l ; alors
|E[f ◦ X n ] − E[f ◦ X)]| ≤ |E[f ◦ X n ] − E[f ◦ (X n + Z)]|
+ |E[f ◦ (X n + Z)] − E[f ◦ (X + Z)]| + |E[f ◦ (X + Z)] − E[f ◦ X]|
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
ˆ
µ n la transform´ ee de Fourier de µ n . De mˆ eme, d´ esignons par µ et ˆ
µ la loi
de X et la transform´ ee de Fourier de µ. Si ˆ
µ n → ˆ
µ, au sens de la convergence
simple, alors X n
L
−→ X.
D´ emonstration. — Elle repose sur deux lemmes. Le premier lemme est le
Lemme 7.2 du chapitre 13, utilis´ e pour d´ emontrer que la fonction caract´ eristique d´ eterminait la mesure. Par commodit´ e ici, appelons-le “Lemme 1.” Le
second lemme s’´ enonce comme suit.
Lemme 2. — Donnons-nous une suite (µ n ) de mesures de probabilit´ e
sur R, une mesure de probabilit´ e µ sur R et une densit´ e de probabilit´ e g sur R
v´ erifiant la propri´ et´ e ancipitale du Lemme 1, `
a savoir qu’elle est aussi, `
a un
facteur pr` es, la fonction caract´ eristique d’une densit´ e de probabilit´ e sur R. Si
ˆ
µ n → ˆ
µ au sens de la convergence simple, alors µ n ∗ g → µ ∗ g ´ etroitement.
D´ emonstration. — D´ esignons par h n , h les densit´ es de µ n ∗ g, µ ∗ g,
respectivement. On a, d’apr` es le Lemme 1
h n (u) = c
R
e
iux f (x) ˆ
µ n (−x) dx.
Or, pour tout n, la fonction |ˆ µ n | est major´ ee par 1 (qui est int´ egrable pour la
mesure fλ) et ˆ
µ n → ˆ
µ au sens de la convergence simple. D’apr` es le th´ eor` eme
de convergence domin´ ee (Th´ eor` eme 9.3 du chap. 10), on a donc
h n (u) → c
R
e
iux f (x) ˆ
µ(−x) dx = h(u),
lorsque n tend vers l’infini. Il r´ esulte alors du th´ eor` eme de Scheff´ e 6.2 que
µ n ∗ g → µ ∗ g ´ etroitement.
Revenons ` a pr´ esent ` a la d´ emonstration du Th´ eor` eme 9.1.
1) Pour tout ε > 0, on peut construire une variable al´ eatoire Z,
ind´ ependante de la suite (X n ) et de X, admettant une densit´ e g ayant la
propri´ et´ e ancipitale et telle que E[ |Z| ] < ε. (Par exemple, si Y est une
variable al´ eatoire de loi N (0, 1), la variable al´ eatoire Z = Y convient,
puisqu’une densit´ e normale a la propri´ et´ e ancipitale). Le Lemme 2 peut alors
s’´ ecrire :
(9.1)
∀ ε > 0
X n + Z
L
−→ X + Z.
2) Soit H la classe des fonctions lipschitziennes born´ ees sur R. Nous
allons montrer que pour tout f dans H on a :
(9.2)
E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X].
En effet, soit f born´ ee lipschitzienne de constante l ; alors
|E[f ◦ X n ] − E[f ◦ X)]| ≤ |E[f ◦ X n ] − E[f ◦ (X n + Z)]|
+ |E[f ◦ (X n + Z)] − E[f ◦ (X + Z)]| + |E[f ◦ (X + Z)] − E[f ◦ X]|