9. LE TH ´
EOR `
EME DE PAUL L ´
EVY
219
Th´ eor` eme 8.1. — Donnons-nous une suite (X n ) de variables al´ eatoires
r´ eelles et une variable al´ eatoire X, non n´ ecessairement d´ efinies sur un mˆ eme
espace probabilis´ e, et choisissons une classe H de fonctions continues, born´ ees
sur R, poss´ edant la propri´ et´ e (D). Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont
´ equivalentes :
1) X n
L
−→ X ;
2) Pour tout f ∈ H, on a : E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X]
(n → ∞).
D´ emonstration
1) ⇒ 2) Grˆ ace au Th´ eor` eme 7.2, il existe des versions X
n , X
de X n ,
X, d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e, telles que X
n converge vers X
presque sˆ urement. On voit alors que pour tout f ∈ H la suite (f ◦ X
n )
converge presque sˆ urement vers f ◦ X
. Puisque f est born´ ee, il r´ esulte du
th´ eor` eme de convergence domin´ ee que E[f ◦ X
n ] → E[f ◦ X
] ; la mˆ eme
relation a naturellement lieu pour X n , X, de sorte qu’en d´ efinitive on a :
E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X].
2) ⇒ 1) D´ esignons par F la fonction de r´ epartition de X et par F n celle
de X n . Soient x un point de continuit´ e pour F et δ un r´ eel strictement
positif. En vertu de la propri´ et´ e (D), il existe deux ´ el´ ements f , g de H
tels que I ]−∞,x−δ] ≤ f ≤ I ]−∞,x] ≤ g ≤ I ]−∞,x+δ] . On a alors, pour tout n,
f ◦ X n ≤ I {X n ≤x} ≤ g ◦ X n et par cons´ equent E[f ◦ X n ] ≤ F n (x) ≤ E[g ◦ X n ].
On en d´ eduit, en faisant tendre n vers l’infini,
E[f ◦ X] ≤ lim inf
n→∞
F n (x) ≤ lim sup
n→∞
F n (x) ≤ E[g ◦ X]
d’o` u, a fortiori,
F (x − δ) ≤ lim inf
n→∞
F n (x) ≤ lim sup
n→∞
F n (x) ≤ F (x + δ).
Il ne reste plus qu’` a faire tendre δ vers 0 pour obtenir la convergence de
(F n (x)) vers F (x).
Remarque. — On voit sans peine que le Th´ eor` eme 8.1 est encore valable
si, au lieu de supposer les fonctions de la classe H continues et born´ ees,
on suppose que chacune d’entre elles est bor´ elienne, born´ ee et telle que
l’ensemble de ses points de discontinuit´ e est n´ egligeable pour la loi de X.
9. Le th´ eor` eme de Paul L´ evy. — Nous avons rencontr´ e au paragraphe 6 de ce chapitre un crit` ere de convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires ` a valeurs dans N, crit` ere qui utilise les fonctions g´ en´ eratrices.
Dans le cas g´ en´ eral, on dispose d’un crit` ere analogue, o` u les fonctions g´ en´ eratrices sont remplac´ ees par les fonctions caract´ eristiques. Ce crit` ere, dont la
d´ emonstration est plus ´ elabor´ ee, porte le nom de th´ eor` eme de Paul L´ evy.
Nous en donnons ci-apr` es une version dont la d´ emonstration est due essentiellement ` a Giorgio Letta.
Th´ eor` eme 9.1. — Donnons-nous une suite de variables al´ eatoires (X n )
et une variable al´ eatoire X. Pour chaque entier n notons µ n la loi de X n et
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EME DE PAUL L ´
EVY
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Th´ eor` eme 8.1. — Donnons-nous une suite (X n ) de variables al´ eatoires
r´ eelles et une variable al´ eatoire X, non n´ ecessairement d´ efinies sur un mˆ eme
espace probabilis´ e, et choisissons une classe H de fonctions continues, born´ ees
sur R, poss´ edant la propri´ et´ e (D). Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont
´ equivalentes :
1) X n
L
−→ X ;
2) Pour tout f ∈ H, on a : E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X]
(n → ∞).
D´ emonstration
1) ⇒ 2) Grˆ ace au Th´ eor` eme 7.2, il existe des versions X
n , X
de X n ,
X, d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e, telles que X
n converge vers X
presque sˆ urement. On voit alors que pour tout f ∈ H la suite (f ◦ X
n )
converge presque sˆ urement vers f ◦ X
. Puisque f est born´ ee, il r´ esulte du
th´ eor` eme de convergence domin´ ee que E[f ◦ X
n ] → E[f ◦ X
] ; la mˆ eme
relation a naturellement lieu pour X n , X, de sorte qu’en d´ efinitive on a :
E[f ◦ X n ] → E[f ◦ X].
2) ⇒ 1) D´ esignons par F la fonction de r´ epartition de X et par F n celle
de X n . Soient x un point de continuit´ e pour F et δ un r´ eel strictement
positif. En vertu de la propri´ et´ e (D), il existe deux ´ el´ ements f , g de H
tels que I ]−∞,x−δ] ≤ f ≤ I ]−∞,x] ≤ g ≤ I ]−∞,x+δ] . On a alors, pour tout n,
f ◦ X n ≤ I {X n ≤x} ≤ g ◦ X n et par cons´ equent E[f ◦ X n ] ≤ F n (x) ≤ E[g ◦ X n ].
On en d´ eduit, en faisant tendre n vers l’infini,
E[f ◦ X] ≤ lim inf
n→∞
F n (x) ≤ lim sup
n→∞
F n (x) ≤ E[g ◦ X]
d’o` u, a fortiori,
F (x − δ) ≤ lim inf
n→∞
F n (x) ≤ lim sup
n→∞
F n (x) ≤ F (x + δ).
Il ne reste plus qu’` a faire tendre δ vers 0 pour obtenir la convergence de
(F n (x)) vers F (x).
Remarque. — On voit sans peine que le Th´ eor` eme 8.1 est encore valable
si, au lieu de supposer les fonctions de la classe H continues et born´ ees,
on suppose que chacune d’entre elles est bor´ elienne, born´ ee et telle que
l’ensemble de ses points de discontinuit´ e est n´ egligeable pour la loi de X.
9. Le th´ eor` eme de Paul L´ evy. — Nous avons rencontr´ e au paragraphe 6 de ce chapitre un crit` ere de convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires ` a valeurs dans N, crit` ere qui utilise les fonctions g´ en´ eratrices.
Dans le cas g´ en´ eral, on dispose d’un crit` ere analogue, o` u les fonctions g´ en´ eratrices sont remplac´ ees par les fonctions caract´ eristiques. Ce crit` ere, dont la
d´ emonstration est plus ´ elabor´ ee, porte le nom de th´ eor` eme de Paul L´ evy.
Nous en donnons ci-apr` es une version dont la d´ emonstration est due essentiellement ` a Giorgio Letta.
Th´ eor` eme 9.1. — Donnons-nous une suite de variables al´ eatoires (X n )
et une variable al´ eatoire X. Pour chaque entier n notons µ n la loi de X n et