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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
d´ esigne la mesure de Lebesgue, et ` a µ la variable al´ eatoire X = F
−1 d´ efinie
sur le mˆ eme espace.
Pour montrer que l’on a X n
p.s.
−→ X, il suffit de montrer que la suite
(F
−1
n (u)) converge vers F
−1 (u) en tout point u ∈]0, 1[, o` u F
−1 est continue
(puisque le compl´ ementaire de l’ensemble de ces points est de mesure de
Lebesgue nulle). Soit donc u ∈]0, 1[ un tel point. Si a, b sont deux ´ el´ ements
de C tels que
(7.2)
a < F
−1 (u) < b,
on peut trouver un point v tel que u < v < 1 et tel que l’on ait a < F
−1 (u) ≤
F
−1 (v) ≤ b, c’est-` a-dire F (a) < u < v ≤ F (b). Puisque a et b sont dans C,
on a, pour n assez grand, les in´ egalit´ es F n (a) < u ≤ F n (b), c’est-` a-dire
(7.3)
a < F
−1
n (u) ≤ b.
Les relations (7.2) et (7.3) suffisent pour conclure.
Remarque 1. — Convenons de dire qu’une variable al´ eatoire X
est
une version d’une variable al´ eatoire X, si X
a mˆ eme loi que X. (Il n’est
naturellement pas n´ ecessaire que X et X
soient d´ efinis sur un mˆ eme espace
probabilis´ e.) Avec cette terminologie, le Th´ eor` eme 7.2 s’´ enonce ainsi :
´
Etant donn´ e une suite de variables al´ eatoires (X n ), qui converge en loi vers
une variable al´ eatoire X, il existe des versions X
n , X
de X n , X, d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e, telles que X
n
p.s.
−→ X
.
Remarque 2. — Voici un r´ esultat, qui est une cons´ equence imm´ ediate du
th´ eor` eme de Skorohod, dont la d´ emonstration directe serait fastidieuse :
Supposons que X n
L
−→ X et soit g : R → R une fonction continue. Alors
g ◦ X n
L
−→ g ◦ X.
8. La convergence en loi d’un point de vue fonctionnel. — Nous
nous proposons de donner une d´ efinition ´ equivalente de la convergence en loi
faisant intervenir une classe de “fonctions test.” Une telle classe, not´ ee H, est
form´ ee de fonctions continues, born´ ees sur R, poss´ edant la propri´ et´ e suivante :
(D) Pour tout couple (a, b) de r´ eels, avec a < b, il existe un ´ el´ ement f ∈ H
tel que l’on ait : I ]−∞,a] ≤ f ≤ I ]−∞,b] .
On pourra, par exemple, prendre pour H l’une quelconque des trois classes
suivantes :
a) la classe de toutes les fonctions continues born´ ees sur R ;
b) la classe, plus restreinte, des fonctions lipschitziennes et born´ ees
sur R ;
c) la classe, encore plus restreinte, des fonctions de la forme :
x → 1 ∧
(b − x)
+
b − a
,
(a < b).
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
d´ esigne la mesure de Lebesgue, et ` a µ la variable al´ eatoire X = F
−1 d´ efinie
sur le mˆ eme espace.
Pour montrer que l’on a X n
p.s.
−→ X, il suffit de montrer que la suite
(F
−1
n (u)) converge vers F
−1 (u) en tout point u ∈]0, 1[, o` u F
−1 est continue
(puisque le compl´ ementaire de l’ensemble de ces points est de mesure de
Lebesgue nulle). Soit donc u ∈]0, 1[ un tel point. Si a, b sont deux ´ el´ ements
de C tels que
(7.2)
a < F
−1 (u) < b,
on peut trouver un point v tel que u < v < 1 et tel que l’on ait a < F
−1 (u) ≤
F
−1 (v) ≤ b, c’est-` a-dire F (a) < u < v ≤ F (b). Puisque a et b sont dans C,
on a, pour n assez grand, les in´ egalit´ es F n (a) < u ≤ F n (b), c’est-` a-dire
(7.3)
a < F
−1
n (u) ≤ b.
Les relations (7.2) et (7.3) suffisent pour conclure.
Remarque 1. — Convenons de dire qu’une variable al´ eatoire X
est
une version d’une variable al´ eatoire X, si X
a mˆ eme loi que X. (Il n’est
naturellement pas n´ ecessaire que X et X
soient d´ efinis sur un mˆ eme espace
probabilis´ e.) Avec cette terminologie, le Th´ eor` eme 7.2 s’´ enonce ainsi :
´
Etant donn´ e une suite de variables al´ eatoires (X n ), qui converge en loi vers
une variable al´ eatoire X, il existe des versions X
n , X
de X n , X, d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e, telles que X
n
p.s.
−→ X
.
Remarque 2. — Voici un r´ esultat, qui est une cons´ equence imm´ ediate du
th´ eor` eme de Skorohod, dont la d´ emonstration directe serait fastidieuse :
Supposons que X n
L
−→ X et soit g : R → R une fonction continue. Alors
g ◦ X n
L
−→ g ◦ X.
8. La convergence en loi d’un point de vue fonctionnel. — Nous
nous proposons de donner une d´ efinition ´ equivalente de la convergence en loi
faisant intervenir une classe de “fonctions test.” Une telle classe, not´ ee H, est
form´ ee de fonctions continues, born´ ees sur R, poss´ edant la propri´ et´ e suivante :
(D) Pour tout couple (a, b) de r´ eels, avec a < b, il existe un ´ el´ ement f ∈ H
tel que l’on ait : I ]−∞,a] ≤ f ≤ I ]−∞,b] .
On pourra, par exemple, prendre pour H l’une quelconque des trois classes
suivantes :
a) la classe de toutes les fonctions continues born´ ees sur R ;
b) la classe, plus restreinte, des fonctions lipschitziennes et born´ ees
sur R ;
c) la classe, encore plus restreinte, des fonctions de la forme :
x → 1 ∧
(b − x)
+
b − a
,
(a < b).