7. CONVERGENCE ´
ETROITE ET PRESQUE S ˆ
URE
217
a) La suite (X n ) n≥1 converge en loi vers une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1], admettant donc une densit´ e, ` a savoir f (x) =
I [0,1] (x). En effet, pour tout x ∈ [0, 1], on a
x
0
f n (t) dt = x −
sin(2πnx)
2πn
, qui
tend vers x lorsque n tend vers l’infini.
b) Or la suite (f n (x)) ne converge pour aucune valeur de x ∈]0, 1[.
7. Convergences ´ etroite et presque sˆ ure
7.1. Inverse d’une fonction de r´ epartition. — Soit F la fonction de
r´ epartition d’une loi de probabilit´ e µ sur R. Pour tout u ∈]0, 1[ l’ensemble
{x : F (x) ≥ u} est un intervalle de R, non born´ e, admettant un plus petit
´ el´ ement. Si l’on note F
−1 (u) cet ´ el´ ement minimum, on a :
{x : F (x) ≥ u} =
F
−1 (u), +∞
.
On d´ efinit de la sorte une application F
−1 , croissante de ]0, 1[ dans R. Cette
application co¨ ıncide avec l’inverse de F , lorsque F applique bijectivement R
sur ]0, 1[ (c’est-` a-dire lorsque F est continue et strictement croissante). Dans
le cas g´ en´ eral, on l’appelle l’inverse g´ en´ eralis´ ee au sens de Paul L´ evy.
Il r´ esulte de cette d´ efinition que, pour tout r´ eel u ∈]0, 1[ et tout couple
(a, b) de r´ eels tels que a < b, on a l’´ equivalence :
(7.1)
F (a) < u ≤ F (b) ⇐⇒ a < F
−1 (u) ≤ b.
7.2. Construction d’une variable al´ eatoire de loi donn´ ee. — Conservons
les mˆ emes notations que dans la sous-section pr´ ec´ edente.
Th´ eor` eme 7.1. — Consid´ erons l’espace probabilis´ e (]0, 1[, B(]0, 1[), P),
o` u P d´ esigne la restriction de la mesure de Lebesgue `
a la tribu B(]0, 1[). Alors
en tant que variable al´ eatoire r´ eelle sur cet espace, l’application F
−1 admet F
comme fonction de r´ epartition, donc µ comme loi.
D´ emonstration. — Pour tout r´ eel x, la relation (7.1) implique :
P{F
−1
≤ x} = P{u : F
−1 (u) ≤ x} = P{u : u ≤ F (x)} = F (x).
7.3. Le th´ eor` eme de Skorohod
Th´ eor` eme 7.2 (Skorohod). — Soit (µ n ) une suite de lois de probabilit´ e
sur R, qui converge ´ etroitement vers une loi de probabilit´ e µ. On peut alors
d´ efinir, sur un mˆ eme espace probabilis´ e, une suite de variables al´ eatoires (X n )
et une variable al´ eatoire X, telles que pour chaque n la variable X n ait pour
loi µ n et X ait pour loi µ et telles que l’on ait : X n
p.s.
−→ X.
D´ emonstration. — D´ esignons par F n la fonction de r´ epartition de µ n ,
par F celle de µ, et par C l’ensemble des points de continuit´ e de F . D´ esignons
enfin par F
−1
n
l’inverse g´ en´ eralis´ ee de F n et par F
−1 celle de F . Associons
` a µ n la variable al´ eatoire X n = F
−1
n
d´ efinie sur (]0, 1[, B(]0, 1[), λ), o` u λ
ETROITE ET PRESQUE S ˆ
URE
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a) La suite (X n ) n≥1 converge en loi vers une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1], admettant donc une densit´ e, ` a savoir f (x) =
I [0,1] (x). En effet, pour tout x ∈ [0, 1], on a
x
0
f n (t) dt = x −
sin(2πnx)
2πn
, qui
tend vers x lorsque n tend vers l’infini.
b) Or la suite (f n (x)) ne converge pour aucune valeur de x ∈]0, 1[.
7. Convergences ´ etroite et presque sˆ ure
7.1. Inverse d’une fonction de r´ epartition. — Soit F la fonction de
r´ epartition d’une loi de probabilit´ e µ sur R. Pour tout u ∈]0, 1[ l’ensemble
{x : F (x) ≥ u} est un intervalle de R, non born´ e, admettant un plus petit
´ el´ ement. Si l’on note F
−1 (u) cet ´ el´ ement minimum, on a :
{x : F (x) ≥ u} =
F
−1 (u), +∞
.
On d´ efinit de la sorte une application F
−1 , croissante de ]0, 1[ dans R. Cette
application co¨ ıncide avec l’inverse de F , lorsque F applique bijectivement R
sur ]0, 1[ (c’est-` a-dire lorsque F est continue et strictement croissante). Dans
le cas g´ en´ eral, on l’appelle l’inverse g´ en´ eralis´ ee au sens de Paul L´ evy.
Il r´ esulte de cette d´ efinition que, pour tout r´ eel u ∈]0, 1[ et tout couple
(a, b) de r´ eels tels que a < b, on a l’´ equivalence :
(7.1)
F (a) < u ≤ F (b) ⇐⇒ a < F
−1 (u) ≤ b.
7.2. Construction d’une variable al´ eatoire de loi donn´ ee. — Conservons
les mˆ emes notations que dans la sous-section pr´ ec´ edente.
Th´ eor` eme 7.1. — Consid´ erons l’espace probabilis´ e (]0, 1[, B(]0, 1[), P),
o` u P d´ esigne la restriction de la mesure de Lebesgue `
a la tribu B(]0, 1[). Alors
en tant que variable al´ eatoire r´ eelle sur cet espace, l’application F
−1 admet F
comme fonction de r´ epartition, donc µ comme loi.
D´ emonstration. — Pour tout r´ eel x, la relation (7.1) implique :
P{F
−1
≤ x} = P{u : F
−1 (u) ≤ x} = P{u : u ≤ F (x)} = F (x).
7.3. Le th´ eor` eme de Skorohod
Th´ eor` eme 7.2 (Skorohod). — Soit (µ n ) une suite de lois de probabilit´ e
sur R, qui converge ´ etroitement vers une loi de probabilit´ e µ. On peut alors
d´ efinir, sur un mˆ eme espace probabilis´ e, une suite de variables al´ eatoires (X n )
et une variable al´ eatoire X, telles que pour chaque n la variable X n ait pour
loi µ n et X ait pour loi µ et telles que l’on ait : X n
p.s.
−→ X.
D´ emonstration. — D´ esignons par F n la fonction de r´ epartition de µ n ,
par F celle de µ, et par C l’ensemble des points de continuit´ e de F . D´ esignons
enfin par F
−1
n
l’inverse g´ en´ eralis´ ee de F n et par F
−1 celle de F . Associons
` a µ n la variable al´ eatoire X n = F
−1
n
d´ efinie sur (]0, 1[, B(]0, 1[), λ), o` u λ