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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
lorsque n tend vers l’infini, c’est-` a-dire X n
L
−→ X.
b) ⇒ a) D´ esignons par F n la fonction de r´ epartition de X n et par F
celle de X. Alors pour tout k ∈ Z on a : p n,k = F n (k) − F n (k − 1) →
F (k) − F (k − 1) = α k , lorsque n tend vers l’infini. On v´ erifie que
k∈Z
α k =
F (+∞) − F (−∞) = 1.
Remarque. — Ce th´ eor` eme, joint au Th´ eor` eme 4.2 du chapitre 9, fournit
le crit` ere suivant de convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires ` a
valeurs enti` eres positives.
Crit` ere. — Soient (X n ) une suite de variables al´ eatoires `
a valeurs dans
N, de fonction g´ en´ eratrice G n et X une variable al´ eatoire `
a valeurs dans N,
de fonction g´ en´ eratrice G. Si, pour tout u ∈]0, 1[, on a lim
n→∞
G n (u) = G(u),
alors X n
L
−→ X (n → ∞).
Th´ eor` eme 6.2 (th´ eor` eme de Scheff´ e). — Donnons-nous une suite (X n )
(n ≥ 1) de variables al´ eatoires absolument continues et X une variable
al´ eatoire absolument continue. Notons f n (resp. f ) la densit´ e de X n (resp.
X) et µ n (resp. µ) sa loi. Supposons que pour presque tout x r´ eel on ait :
f n (x) → f (x) lorsque n tend vers l’infini. Alors
a) f n − f 1 =
R
|f n (x) − f (x)| dx → 0, lorsque n tend vers l’infini,
c’est-` a-dire f n → f dans L
1 .
b) lim
n→∞
sup
B∈B 1
|µ n (B) − µ(B)| = 0, c’est-` a-dire µ n → µ en variation .
c) X n
L
−→ X (en loi).
D´ emonstration
a) D’abord |f n − f | = f n + f − 2f n ∧ f , d’o` u
R
|f n − f | dx =
R
f n dx +
R
f dx − 2
R
f n ∧ f dx. Puisque f n et f sont des densit´ es de probabilit´ e,
on en tire : f n − f 1 = 2 − 2
R
f n ∧ f dx. Or pour tout n ≥ 1 on a
0 ≤ f n ∧ f ≤ f avec f int´ egrable et pour tout r´ eel x on a la convergence :
(f n ∧ f )(x) → f (x) presque partout, lorsque n tend vers l’infini. En vertu du
th´ eor` eme de convergence domin´ ee, on en conclut :
R
f n ∧f dx →
R
f dx = 1,
lorsque n tend vers l’infini. D’o` u f n − f 1 → 0 lorsque n tend vers l’infini.
b) Pour tout B ∈ B
1 on a : |µ n (B) − µ(B)| =
B
(f n − f ) dx
≤
B
|f n − f | dx ≤
R
|f n − f | dx, d’o` u sup
B∈B 1
|µ n (B) − µ(B)| ≤ ≤f n − f 1 → 0
lorsque n tend vers l’infini.
c) Pour tout r´ eel x, posons F n (x) = µ n (] − ∞, x]) et F (x) = µ(] − ∞, x]).
En appliquant b) `
a B =] − ∞, x], on a, pour tout r´ eel x, la convergence
|F n (x) − F (x)| → 0 lorsque n tend vers l’infini, c’est-` a-dire X n
L
−→ X.
Remarque. — Le fait que X n
L
−→ X n’implique pas que pour tout r´ eel x
on ait f n (x) → f (x) lorsque n tend vers l’infini.
Exemple. — Pour chaque n ≥ 1, soit X n une variable al´ eatoire de densit´ e
f n (x) =
1 − cos(2πnx), si x ∈ [0, 1] ;
0,
sinon.