6. CONVERGENCE EN LOI
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deux indices (X nk ) selon l’ordre lexicographique de fa¸ con ` a avoir une suite
(Y n ) `
a un indice. On voit que :
1) la suite (Y n ) ne converge en aucun point ω ∈ [0, 1] ;
2) la suite (Y n ) converge en probabilit´ e vers 0 ; en effet, pour tout ε de
l’intervalle ]0, 1[ on a pour tout n ≥ 1 et pour tout k tel que 1 ≤ k ≤ n la
relation P
|X nk | > ε
= 1/n ; d’o` u P
|Y n | > ε
tend vers 0, lorsque n tend
vers l’infini.
Remarque 2. — L’exemple de la bosse glissante fournit ´ egalement un
exemple du fait suivant : la convergence en moyenne quadratique n’entraˆ ıne
pas la convergence presque sˆ ure. En effet,
1) la suite (Y n ) ne converge en aucun point ω de l’intervalle [0, 1] ;
2) on a pour tout n ≥ 1 et tout k tel 1 ≤ k ≤ n la relation
E
|X nk |
2
= 1/n, d’o` u E
|Y n |
2
tend vers 0, lorsque n tend vers l’infini ; ce
qui montre que la suite (Y n ) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne quadratique
(et aussi en moyenne d’ordre 1).
6. Convergence en loi de variables al´ eatoires ` a valeurs enti` eres
et absolument continues
Th´ eor` eme 6.1. — Donnons-nous une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires `
a valeurs dans Z et une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans Z.
Notons (p n,k , k ∈ Z) la loi de X n (n ≥ 1) et (α k , k ∈ Z) la loi de X. Alors
les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) pour tout k ∈ Z on a : lim
n→∞
p n,k = α k ;
b) X n
L
−→ X (n → ∞) (convergence en loi).
D´ emonstration
a) ⇒ b) D’abord |p n,k − α k | = p n,k + α k − 2 p n,k ∧ α k ; d’o` u
k∈Z
|p n,k − α k | =
k∈Z
p n,k +
k∈Z
α k − 2
k∈Z
p n,k ∧ α k
et, puisque (p n,k ) et (α k ) sont des lois de probabilit´ e,
k∈Z
|p n,k − α k | = 2 − 2
k∈Z
p n,k ∧ α k .
Or 0 ≤ p n,k ∧ α k ≤ α k , avec
k∈Z
α k = 1. De plus, pour tout k ∈ Z la suite
(p n,k ∧ α k ) tend vers α k lorsque n tend vers l’infini. D’apr` es le th´ eor` eme de
convergence domin´ ee, il s’ensuit que
k∈Z
p n,k ∧ α k →
k∈Z
α k = 1, lorsque n
tend vers l’infini., d’o` u
k∈Z
|p n,k − α k | → 0 (n → ∞).
Pour tout x r´ eel, posons F n (x) =
k≤x
p n,k , F (x) =
k∈Z
α k . Alors pour tout
x r´ eel, on a :
|F n (x) − F (x)| ≤
k≤x
|p n,k − α k | ≤
k∈Z
|p n,k − α k | → 0
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deux indices (X nk ) selon l’ordre lexicographique de fa¸ con ` a avoir une suite
(Y n ) `
a un indice. On voit que :
1) la suite (Y n ) ne converge en aucun point ω ∈ [0, 1] ;
2) la suite (Y n ) converge en probabilit´ e vers 0 ; en effet, pour tout ε de
l’intervalle ]0, 1[ on a pour tout n ≥ 1 et pour tout k tel que 1 ≤ k ≤ n la
relation P
|X nk | > ε
= 1/n ; d’o` u P
|Y n | > ε
tend vers 0, lorsque n tend
vers l’infini.
Remarque 2. — L’exemple de la bosse glissante fournit ´ egalement un
exemple du fait suivant : la convergence en moyenne quadratique n’entraˆ ıne
pas la convergence presque sˆ ure. En effet,
1) la suite (Y n ) ne converge en aucun point ω de l’intervalle [0, 1] ;
2) on a pour tout n ≥ 1 et tout k tel 1 ≤ k ≤ n la relation
E
|X nk |
2
= 1/n, d’o` u E
|Y n |
2
tend vers 0, lorsque n tend vers l’infini ; ce
qui montre que la suite (Y n ) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne quadratique
(et aussi en moyenne d’ordre 1).
6. Convergence en loi de variables al´ eatoires ` a valeurs enti` eres
et absolument continues
Th´ eor` eme 6.1. — Donnons-nous une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires `
a valeurs dans Z et une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans Z.
Notons (p n,k , k ∈ Z) la loi de X n (n ≥ 1) et (α k , k ∈ Z) la loi de X. Alors
les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) pour tout k ∈ Z on a : lim
n→∞
p n,k = α k ;
b) X n
L
−→ X (n → ∞) (convergence en loi).
D´ emonstration
a) ⇒ b) D’abord |p n,k − α k | = p n,k + α k − 2 p n,k ∧ α k ; d’o` u
k∈Z
|p n,k − α k | =
k∈Z
p n,k +
k∈Z
α k − 2
k∈Z
p n,k ∧ α k
et, puisque (p n,k ) et (α k ) sont des lois de probabilit´ e,
k∈Z
|p n,k − α k | = 2 − 2
k∈Z
p n,k ∧ α k .
Or 0 ≤ p n,k ∧ α k ≤ α k , avec
k∈Z
α k = 1. De plus, pour tout k ∈ Z la suite
(p n,k ∧ α k ) tend vers α k lorsque n tend vers l’infini. D’apr` es le th´ eor` eme de
convergence domin´ ee, il s’ensuit que
k∈Z
p n,k ∧ α k →
k∈Z
α k = 1, lorsque n
tend vers l’infini., d’o` u
k∈Z
|p n,k − α k | → 0 (n → ∞).
Pour tout x r´ eel, posons F n (x) =
k≤x
p n,k , F (x) =
k∈Z
α k . Alors pour tout
x r´ eel, on a :
|F n (x) − F (x)| ≤
k≤x
|p n,k − α k | ≤
k∈Z
|p n,k − α k | → 0