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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
alors on peut associer au couple (ε, η(ε)) un nombre N (ε) > 0 tel que,
pour tout n ≥ N , on ait P
|X − X n | ≥ η
< ε. Il en r´ esulte que, si
x est un point de continuit´ e de F X , on a, pour tout n ≥ N , l’in´ egalit´ e
|F X (x) − F X n (x)| < 2ε.
Remarque 1. — La r´ eciproque n’est pas exacte : une suite de variables
al´ eatoires peut converger en loi sans converger en probabilit´ e. En voici un
exemple dont la simplicit´ e extrˆ eme montre ce qui s´ epare les deux modes de
convergence. Soit X une variable al´ eatoire de loi
1
2 (ε 0 + ε 1 ) et Y = 1 − X.
Alors X et Y ont mˆ eme loi et |X − Y | = 1. Consid´ erons la suite (X n ) (n ≥ 1)
d´ efinie par X n = Y pour tout n ≥ 1. Alors la suite (X n ) (n ≥ 1) converge
en loi vers X (trivialement), mais elle ne converge pas vers X en probabilit´ e,
puisque |X n − X| = |Y − X| = 1.
Remarque 2. — La r´ eciproque est exacte dans le cas particulier o` u la
limite X se r´ eduit `
a une variable al´ eatoire presque certaine. Nous allons
montrer que si la suite (X n ) converge en loi vers 0, alors elle converge en
probabilit´ e vers 0. Supposons donc que l’on ait :
F n (x) →
1, si x > 0 ;
0, si x < 0.
On peut ´ ecrire, pour tout ε > 0 et tout η > 0 tel que ε − η > 0 :
P
|X n | > ε
= P{X n > ε} + P{X n < −ε}
≤ P{X n > ε − η} + P{X n ≤ −ε}.
d’o` u
P
|X n | > ε
≤ 1 − F n (ε − η) + F n (−ε) → 0.
Th´ eor` eme 5.4. — La convergence presque sˆ ure entraˆ ıne la convergence
en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Ceci r´ esulte imm´ ediatement du Th´ eor` eme 4.2.
Remarque 1. — La r´ eciproque n’est pas exacte : une suite de variables
al´ eatoires peut converger vers 0 en probabilit´ e sans converger vers 0 presque
sˆ urement ; il peut mˆ eme arriver qu’aucune de ses r´ ealisations ne converge
vers 0, comme le montre l’exemple suivant (dit de la “bosse glissante”).
Prenons pour Ω l’intervalle [0, 1], pour A la tribu bor´ elienne, pour P la
mesure de Lebesgue sur ([0, 1], A) et consid´ erons la suite `
a deux indices
d’applications de Ω dans R d´ efinies par :
X 11 = I [0,1] ; X 21 = I [0,1/2[ ; X 22 = I [1/2,1] ;
X 31 = I [0,1/3[ ; X 32 = I [1/3,2/3[ ; X 33 = I [2/3,1] ; . . .
Les graphes des X nk (n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n) sont des “bosses glissantes” qui
s’amincissent lorsque n tend vers l’infini. On peut renum´ eroter la suite ` a
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
alors on peut associer au couple (ε, η(ε)) un nombre N (ε) > 0 tel que,
pour tout n ≥ N , on ait P
|X − X n | ≥ η
< ε. Il en r´ esulte que, si
x est un point de continuit´ e de F X , on a, pour tout n ≥ N , l’in´ egalit´ e
|F X (x) − F X n (x)| < 2ε.
Remarque 1. — La r´ eciproque n’est pas exacte : une suite de variables
al´ eatoires peut converger en loi sans converger en probabilit´ e. En voici un
exemple dont la simplicit´ e extrˆ eme montre ce qui s´ epare les deux modes de
convergence. Soit X une variable al´ eatoire de loi
1
2 (ε 0 + ε 1 ) et Y = 1 − X.
Alors X et Y ont mˆ eme loi et |X − Y | = 1. Consid´ erons la suite (X n ) (n ≥ 1)
d´ efinie par X n = Y pour tout n ≥ 1. Alors la suite (X n ) (n ≥ 1) converge
en loi vers X (trivialement), mais elle ne converge pas vers X en probabilit´ e,
puisque |X n − X| = |Y − X| = 1.
Remarque 2. — La r´ eciproque est exacte dans le cas particulier o` u la
limite X se r´ eduit `
a une variable al´ eatoire presque certaine. Nous allons
montrer que si la suite (X n ) converge en loi vers 0, alors elle converge en
probabilit´ e vers 0. Supposons donc que l’on ait :
F n (x) →
1, si x > 0 ;
0, si x < 0.
On peut ´ ecrire, pour tout ε > 0 et tout η > 0 tel que ε − η > 0 :
P
|X n | > ε
= P{X n > ε} + P{X n < −ε}
≤ P{X n > ε − η} + P{X n ≤ −ε}.
d’o` u
P
|X n | > ε
≤ 1 − F n (ε − η) + F n (−ε) → 0.
Th´ eor` eme 5.4. — La convergence presque sˆ ure entraˆ ıne la convergence
en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Ceci r´ esulte imm´ ediatement du Th´ eor` eme 4.2.
Remarque 1. — La r´ eciproque n’est pas exacte : une suite de variables
al´ eatoires peut converger vers 0 en probabilit´ e sans converger vers 0 presque
sˆ urement ; il peut mˆ eme arriver qu’aucune de ses r´ ealisations ne converge
vers 0, comme le montre l’exemple suivant (dit de la “bosse glissante”).
Prenons pour Ω l’intervalle [0, 1], pour A la tribu bor´ elienne, pour P la
mesure de Lebesgue sur ([0, 1], A) et consid´ erons la suite `
a deux indices
d’applications de Ω dans R d´ efinies par :
X 11 = I [0,1] ; X 21 = I [0,1/2[ ; X 22 = I [1/2,1] ;
X 31 = I [0,1/3[ ; X 32 = I [1/3,2/3[ ; X 33 = I [2/3,1] ; . . .
Les graphes des X nk (n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n) sont des “bosses glissantes” qui
s’amincissent lorsque n tend vers l’infini. On peut renum´ eroter la suite ` a