5. COMPARAISON DES DIVERS TYPES DE CONVERGENCE
213
D´ emonstration. — Elle r´ esulte de l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev,
puisque pour tout ε > 0 on a :
P
|X n | ≥ ε
≤
E[ |X n |
r ]
ε r
−→ 0.
Remarque. — La r´ eciproque n’est pas exacte. Prenons r = 1 et consid´ erons
une suite de variables al´ eatoires (X n ) de lois
1
n ε n 2 + (1 −
1
n )ε 0 . On v´ erifie que
cette suite converge vers 0 en probabilit´ e, mais non en moyenne d’ordre 1.
La r´ eciproque est exacte dans le cas particulier o` u la suite (X n ) est presque
sˆ urement born´ ee (cf. Exercice 4).
Th´ eor` eme 5.2. — La convergence en probabilit´ e entraˆ ıne la convergence
en loi.
La d´ emonstration repose sur le lemme suivant.
Lemme 5.3. — ´
Etant donn´ e un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires,
on a, pour tout η > 0
|F X (x) − F Y (x)| ≤ F X (x + η) − F X (x − η) + P
|X − Y | > η
.
D´ emonstration
a) D’abord on a les relations :
{Y ≤ x} = {Y ≤ x, X ≤ x + η} + {Y ≤ x, X > x + η}
⊂
X ≤ x + η
+
|X − Y | > η
;
d’o` u
F Y (x) ≤ F X (x + η) + P
|X − Y | > η
.
b) On montre de fa¸ con analogue que
F X (x − η) ≤ F Y (x) + P
|X − Y | > η
.
c) Il r´ esulte de a) et b) que :
F X (x − η) − P
|X − Y | > η
≤ F Y (x) ≤ F X (x + η) + P
|X − Y | > η
.
d) Or on a trivialement :
F X (x − η) ≤ F X (x) ≤ F X (x + η).
e) Il r´ esulte de c) et d) que :
|F X (x) − F Y (x)| ≤ F X (x + η) − F X (x − η) + P
|X − Y | > η
.
Pour d´ emontrer le Th´ eor` eme 5.2 on applique le lemme en prenant Y = X n .
On obtient donc, pour tout n ≥ 0 et tout η > 0,
|F X (x) − F X n (x)| ≤ F X (x + η) − F X (x − η) + P
|X − X n | > η
.
Supposons que x soit un point de continuit´ e de F X ; alors pour tout ε > 0,
il existe η(ε) tel que F X (x + η) − F X (x − η) < ε. Supposons que X n
p
−→ X ;