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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
n k ≥ 1 tel que P
|X n k | > ε
< η k . On peut toujours supposer que n k < n k+1
pour tout k ≥ 1. On a alors pour tout ε > 0 les relations
P
sup
k≥n
|X n k | > ε
= P
k≥n
|X n k | > ε
≤
k≥n
η k .
Or le dernier membre tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Le r´ esultat en
d´ ecoule en vertu du Th´ eor` eme 4.1.
Th´ eor` eme 4.6. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ;
alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X n
p
−→ 0 ;
b) De toute suite partielle extraite de (X n ) on peut extraire une suite
partielle qui converge presque sˆ urement vers 0.
D´ emonstration
a) ⇒ b) Soit (X a n ) une suite partielle extraite de (X n ) ; il est clair que
X a n
p
−→ 0. Le Th´ eor` eme 4.5 appliqu´ e ` a la suite (X a n ) montre qu’il existe une
suite partielle extraite de (X a n ) qui converge vers 0 presque sˆ urement.
b) ⇒ a) Supposons que a) ne soit pas satisfaite, c’est-` a-dire qu’il existe
ε, η > 0 tels que, quel que soit N > 0, il existe un entier n ≥ N pour lequel
P
|X n | > ε
> η. On en d´ eduit qu’il existe une suite partielle (X a n ) extraite
de (X n ) telle que, pour tout n ≥ 1, on ait P
|X a n | > ε
> η. Pour toute
suite partielle (X b k ) extraite de (X a n ) on a alors, pour tout k ≥ 1, l’in´ egalit´ e
P
|X b k | > ε
> η. Il en r´ esulte que la suite (X b k ) ne converge pas vers 0 en
probabilit´ e, donc non plus presque sˆ urement, ce qui contredit b).
Remarque. — Le Th´ eor` eme 4.6 fournit des d´ emonstrations imm´ ediates
des Th´ eor` emes 2.1 et 2.2. Il suffit, en effet, d’observer que si X n
p.s.
−→ X, alors,
pour toute fonction continue f , on a : f ◦ X n
p.s.
−→ f ◦ X.
5. Comparaison des divers types de convergence. — On a essentiellement le diagramme suivant :
Conv. en moyenne d’ordre r =⇒ Conv. en probabilit´ e =⇒ Conv. en loi
Conv. presque sˆ ure
Il est ´ evident a priori que le mode de convergence en loi est le plus faible,
puisque sa d´ efinition ne fait intervenir que les lois des X n et ne fait pas
r´ ef´ erence au triplet fondamental.
Notation. — Dans ce qui suit (X n ), (F n ) (n ≥ 1) d´ esignent une suite de
variables al´ eatoires et la suite de leurs fonctions de r´ epartition associ´ ees.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit r > 0 ; la convergence en moyenne d’ordre r
entraˆ ıne la convergence en probabilit´ e.
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
n k ≥ 1 tel que P
|X n k | > ε
< η k . On peut toujours supposer que n k < n k+1
pour tout k ≥ 1. On a alors pour tout ε > 0 les relations
P
sup
k≥n
|X n k | > ε
= P
k≥n
|X n k | > ε
≤
k≥n
η k .
Or le dernier membre tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Le r´ esultat en
d´ ecoule en vertu du Th´ eor` eme 4.1.
Th´ eor` eme 4.6. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ;
alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X n
p
−→ 0 ;
b) De toute suite partielle extraite de (X n ) on peut extraire une suite
partielle qui converge presque sˆ urement vers 0.
D´ emonstration
a) ⇒ b) Soit (X a n ) une suite partielle extraite de (X n ) ; il est clair que
X a n
p
−→ 0. Le Th´ eor` eme 4.5 appliqu´ e ` a la suite (X a n ) montre qu’il existe une
suite partielle extraite de (X a n ) qui converge vers 0 presque sˆ urement.
b) ⇒ a) Supposons que a) ne soit pas satisfaite, c’est-` a-dire qu’il existe
ε, η > 0 tels que, quel que soit N > 0, il existe un entier n ≥ N pour lequel
P
|X n | > ε
> η. On en d´ eduit qu’il existe une suite partielle (X a n ) extraite
de (X n ) telle que, pour tout n ≥ 1, on ait P
|X a n | > ε
> η. Pour toute
suite partielle (X b k ) extraite de (X a n ) on a alors, pour tout k ≥ 1, l’in´ egalit´ e
P
|X b k | > ε
> η. Il en r´ esulte que la suite (X b k ) ne converge pas vers 0 en
probabilit´ e, donc non plus presque sˆ urement, ce qui contredit b).
Remarque. — Le Th´ eor` eme 4.6 fournit des d´ emonstrations imm´ ediates
des Th´ eor` emes 2.1 et 2.2. Il suffit, en effet, d’observer que si X n
p.s.
−→ X, alors,
pour toute fonction continue f , on a : f ◦ X n
p.s.
−→ f ◦ X.
5. Comparaison des divers types de convergence. — On a essentiellement le diagramme suivant :
Conv. en moyenne d’ordre r =⇒ Conv. en probabilit´ e =⇒ Conv. en loi
Conv. presque sˆ ure
Il est ´ evident a priori que le mode de convergence en loi est le plus faible,
puisque sa d´ efinition ne fait intervenir que les lois des X n et ne fait pas
r´ ef´ erence au triplet fondamental.
Notation. — Dans ce qui suit (X n ), (F n ) (n ≥ 1) d´ esignent une suite de
variables al´ eatoires et la suite de leurs fonctions de r´ epartition associ´ ees.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit r > 0 ; la convergence en moyenne d’ordre r
entraˆ ıne la convergence en probabilit´ e.