4. CONVERGENCE PRESQUE S ˆ
URE
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b) La suite de terme g´ en´ eral Y n = sup k≥n |X k | converge vers 0 en
probabilit´ e.
Il en r´ esulte imm´ ediatement que la convergence presque sˆ ure implique la
convergence en probabilit´ e.
D´ emonstration. — Avec les notations ci-dessus, on a :
k≥n
E k (ε) =
k≥n
{|X k | > ε} =
sup
k≥n
|X k | > ε
.
Cette suite d’ensembles est d´ ecroissante lorsque n croˆ ıt, de sorte que pour
tout ε > 0 on a :
E(ε) = lim
n→∞
sup
k≥n
|X k | > ε
et P(E(ε)) = lim
n→∞
P
sup
k≥n
|X k | > ε
.
Cette ´ egalit´ e, valable pour tout ε > 0, montre que a) ⇔ b).
Nous donnons maintenant deux crit` eres de convergence presque sˆ ure.
Proposition 4.3. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires.
Si, pour tout ε > 0, la s´ erie de terme g´ en´ eral P
|X n | > ε
est convergente,
alors la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement.
D´ emonstration. — Avec les notations ci-dessus on a, pour tout ε > 0 et
tout n ≥ 1
P(E(ε)) ≤
k≥n
P(E k (ε)).
Or le second membre, reste d’ordre n d’une s´ erie convergente, tend vers 0
lorsque n tend vers l’infini ; le premier membre, ´ etant ind´ ependant de n,
est donc nul. D’o` u pour tout ε > 0 l’identit´ e P(E(ε)) = 0, c’est-` a-dire
X n
p.s.
−→ 0.
Proposition 4.4. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires.
S’il existe r > 0 tel que la s´ erie de terme g´ en´ eral E
|X n |
r
soit convergente,
alors la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement.
D´ emonstration. — On a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev,
pour tout ε > 0
P
|X n | ≥ ε
≤
E[ |X n |
r ]
ε r
;
d’o` u le r´ esultat en vertu de la Proposition 4.3.
Pour terminer cette section, nous donnons quelques liens entre convergence
presque sˆ ure et convergence en probabilit´ e.
Th´ eor` eme 4.5. — Soit X n
p
−→ 0, il existe une suite partielle (X n k )
extraite de (X n ) telle que X n k
p.s.
−→ 0.
D´ emonstration. — Soient ε > 0 et (η k ) une suite de nombres strictement
positifs tels que
k≥1 η k < +∞. Par hypoth` ese, pour tout k ≥ 1 il existe