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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
C =
ε>0
n≥1
k≥n
|X k | ≤ ε
;
ainsi que son compl´ ementaire, l’ensemble de divergence
D = C
c =
ε>0
n≥1
k≥n
|X k | > ε
=
ε>0
E(ε).
On voit que 0 < ε < ε
=⇒ E(ε
) ⊂ E(ε), de sorte que (E(ε)) (ε > 0) est
une famille croissante lorsque ε ↓ 0 ; il en r´ esulte que :
a) l’ensemble D peut s’´ ecrire D =
l E(1/l), avec l ≥ 1 entier. Par
cons´ equent, D (donc C) est mesurable. (Cette observation a ´ et´ e faite pour la
premi` ere fois par Kolmogorov dans son ouvrage fondamental.
2 )
b) D = lim ε↓0 E(ε).
Il est clair que X n
p.s.
−→ 0, si et seulement si P(C) = 1, c’est-` a-dire si et
seulement si P(D) = 0. Or cette derni` ere propri´ et´ e est susceptible d’une
interpr´ etation int´ eressante faisant l’objet du th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 4.1. — Avec les notations ci-dessus, les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) P(D) = 0 ;
b) pour tout ε > 0 on a P(E(ε)) = 0.
D´ emonstration
a) ⇒ b) Il r´ esulte de la relation D =
ε>0 E(ε) que pour tout ε > 0 on
a P(E(ε)) ≤ P(D) ; d’o` u le r´ esultat.
b) ⇒ a) Il r´ esulte de la relation D = lim ε↓0 P(E(ε)) que l’on a :
P(D) = lim ε↓0 P(E(ε)) ; d’o` u le r´ esultat.
Ce th´ eor` eme permet d’adopter dor´ enavant la d´ efinition suivante, beaucoup
plus op´ eratoire, de la convergence presque sˆ ure.
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires. Posons,
pour tout ε > 0
E n (ε) =
|X n | > ε
,
E(ε) = lim sup
n→∞
E n (ε).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement,
si pour tout ε > 0 on a P(E(ε)) = 0.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire, d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e que les X n . On dit que la suite converge vers X presque sˆ urement,
si X n − X
p.s.
−→ 0.
Th´ eor` eme 4.2. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.
a) La suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement.
2 Kolmogorov (A. N.). — Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Berlin,
Springer, .
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
C =
ε>0
n≥1
k≥n
|X k | ≤ ε
;
ainsi que son compl´ ementaire, l’ensemble de divergence
D = C
c =
ε>0
n≥1
k≥n
|X k | > ε
=
ε>0
E(ε).
On voit que 0 < ε < ε
=⇒ E(ε
) ⊂ E(ε), de sorte que (E(ε)) (ε > 0) est
une famille croissante lorsque ε ↓ 0 ; il en r´ esulte que :
a) l’ensemble D peut s’´ ecrire D =
l E(1/l), avec l ≥ 1 entier. Par
cons´ equent, D (donc C) est mesurable. (Cette observation a ´ et´ e faite pour la
premi` ere fois par Kolmogorov dans son ouvrage fondamental.
2 )
b) D = lim ε↓0 E(ε).
Il est clair que X n
p.s.
−→ 0, si et seulement si P(C) = 1, c’est-` a-dire si et
seulement si P(D) = 0. Or cette derni` ere propri´ et´ e est susceptible d’une
interpr´ etation int´ eressante faisant l’objet du th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 4.1. — Avec les notations ci-dessus, les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) P(D) = 0 ;
b) pour tout ε > 0 on a P(E(ε)) = 0.
D´ emonstration
a) ⇒ b) Il r´ esulte de la relation D =
ε>0 E(ε) que pour tout ε > 0 on
a P(E(ε)) ≤ P(D) ; d’o` u le r´ esultat.
b) ⇒ a) Il r´ esulte de la relation D = lim ε↓0 P(E(ε)) que l’on a :
P(D) = lim ε↓0 P(E(ε)) ; d’o` u le r´ esultat.
Ce th´ eor` eme permet d’adopter dor´ enavant la d´ efinition suivante, beaucoup
plus op´ eratoire, de la convergence presque sˆ ure.
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires. Posons,
pour tout ε > 0
E n (ε) =
|X n | > ε
,
E(ε) = lim sup
n→∞
E n (ε).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement,
si pour tout ε > 0 on a P(E(ε)) = 0.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire, d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e que les X n . On dit que la suite converge vers X presque sˆ urement,
si X n − X
p.s.
−→ 0.
Th´ eor` eme 4.2. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.
a) La suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement.
2 Kolmogorov (A. N.). — Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Berlin,
Springer, .