4. CONVERGENCE PRESQUE S ˆ
URE
209
D´ emonstration. — On a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev,
pour tout ε > 0
P
|X n | ≥ ε
≤
E[ |X n |
r ]
ε r
−→ 0.
3. Convergence en moyenne d’ordre r > 0
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P). On suppose qu’il existe r > 0 tel
que pour tout n ≥ 1 le moment E
|X n |
r
soit fini.
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne
d’ordre r, si E
|X n |
r → 0 lorsque n tend vers l’infini.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers X en
moyenne d’ordre r, si la suite (X n − X) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne
d’ordre r.
Remarque 1. — Supposons que X n → X en moyenne d’ordre r ; il n’en
r´ esulte pas que le moment E
|X|
r
soit fini, mais si ce moment est fini, alors
E
|X n |
r → E
|X|
r
.
Remarque 2. — Ce type de convergence est essentiellement utilis´ e pour
r = 2, auquel cas on parle de convergence en moyenne quadratique.
4. Convergence presque sˆ ure
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement, et
l’on ´ ecrit X n
p.s.
−→ 0, s’il existe un ensemble P-n´ egligeable A ∈ A tel que pour
tout ω ∈ Ω \ A, on ait X n (ω) → 0, lorsque n tend vers l’infini.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers X
presque sˆ urement, et l’on ´ ecrit X n
p.s.
−→ X, si la suite (X n −X) (n ≥ 1) converge
vers 0 presque sˆ urement.
Remarque. — Il r´ esulte directement de la d´ efinition que les Th´ eor` emes 2.1
et 2.2 ainsi que leurs corollaires sont valables pour la convergence presque
sˆ ure. N´ eanmoins, cette d´ efinition n’est pas op´ eratoire et il convient, dans
certains cas, de lui en substituer une autre, ´ equivalente, qui a l’avantage
de fournir instantan´ ement des crit` eres de convergence presque sˆ ure. Nous
introduisons cette nouvelle d´ efinition apr` es le commentaire qui suit.
Commentaire de la d´ efinition. — Posons pour tout ε > 0
E n (ε) =
|X n | > ε
,
E(ε) = lim sup
n→∞
E n (ε) =
n≥1
k≥n
E k (ε).
Introduisons l’ensemble de convergence de la suite (X n ) (n ≥ 1) vers 0
URE
209
D´ emonstration. — On a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev,
pour tout ε > 0
P
|X n | ≥ ε
≤
E[ |X n |
r ]
ε r
−→ 0.
3. Convergence en moyenne d’ordre r > 0
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P). On suppose qu’il existe r > 0 tel
que pour tout n ≥ 1 le moment E
|X n |
r
soit fini.
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne
d’ordre r, si E
|X n |
r → 0 lorsque n tend vers l’infini.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers X en
moyenne d’ordre r, si la suite (X n − X) (n ≥ 1) converge vers 0 en moyenne
d’ordre r.
Remarque 1. — Supposons que X n → X en moyenne d’ordre r ; il n’en
r´ esulte pas que le moment E
|X|
r
soit fini, mais si ce moment est fini, alors
E
|X n |
r → E
|X|
r
.
Remarque 2. — Ce type de convergence est essentiellement utilis´ e pour
r = 2, auquel cas on parle de convergence en moyenne quadratique.
4. Convergence presque sˆ ure
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers 0 presque sˆ urement, et
l’on ´ ecrit X n
p.s.
−→ 0, s’il existe un ensemble P-n´ egligeable A ∈ A tel que pour
tout ω ∈ Ω \ A, on ait X n (ω) → 0, lorsque n tend vers l’infini.
b) Soit X une autre variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace
probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge vers X
presque sˆ urement, et l’on ´ ecrit X n
p.s.
−→ X, si la suite (X n −X) (n ≥ 1) converge
vers 0 presque sˆ urement.
Remarque. — Il r´ esulte directement de la d´ efinition que les Th´ eor` emes 2.1
et 2.2 ainsi que leurs corollaires sont valables pour la convergence presque
sˆ ure. N´ eanmoins, cette d´ efinition n’est pas op´ eratoire et il convient, dans
certains cas, de lui en substituer une autre, ´ equivalente, qui a l’avantage
de fournir instantan´ ement des crit` eres de convergence presque sˆ ure. Nous
introduisons cette nouvelle d´ efinition apr` es le commentaire qui suit.
Commentaire de la d´ efinition. — Posons pour tout ε > 0
E n (ε) =
|X n | > ε
,
E(ε) = lim sup
n→∞
E n (ε) =
n≥1
k≥n
E k (ε).
Introduisons l’ensemble de convergence de la suite (X n ) (n ≥ 1) vers 0