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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Exemple. — Reprenons l’exemple qui illustre la Remarque du paragraphe 1 relative `
a la convergence en loi.
1) On a X n
p
−→ X = 0, puisque pour tout ε > 0 :
P{X n > ε} ≤ P{X n > 0} =
1
n
→ 0.
2) La suite (E[X n ]) a les diff´ erents comportements d´ ecrits ci-dessus.
Donnons tout d’abord deux propri´ et´ es de la convergence en probabilit´ e.
Th´ eor` eme 2.1. — Soit (M n = (X n , Y n )) (n ≥ 1) une suite de points
al´ eatoires qui converge en probabilit´ e vers le point al´ eatoire M = (X, Y )
(c’est-` a-dire pour tout ε > 0 lim n P{ |M n − M | > ε } = 0, ce qui entraˆ ıne que
l’on a simultan´ ement X n
p
−→ X et Y n
p
−→ Y ). Soit d’autre part h : R
2
→ R
une fonction continue en tout point (x, y) de R
2 . Alors la suite des variables
al´ eatoires h(X n , Y n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers la variable al´ eatoire
h(X, Y ).
En particulier, si X n
p
−→ X et si f est une fonction r´ eelle, continue en
tout point de la droite r´ eelle, alors f ◦ X n
p
−→ f ◦ X.
Si X = c (c r´ eel), l’hypoth` ese X n
p
−→ c peut ˆ etre remplac´ ee par X n
L
−→ c.
Th´ eor` eme 2.2. — Si la suite de variables al´ eatoires (X n ) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers la variable al´ eatoire X et si P{X = 0} = 0,
alors 1/X n
p
−→ 1/X.
Les d´ emonstrations de ces deux th´ eor` emes peuvent ˆ etre trouv´ ees dans l’ouvrage de Fourgeaud-Fuchs.
1 Nous verrons que ce sont en fait des cons´ equences
du Th´ eor` eme 4.6 ci-dessous. Le corollaire suivant est une simple cons´ equence
de ces deux th´ eor` emes.
Corollaire. — Si la suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers le point al´ eatoire M = (X, Y ), alors
1) X n + Y n
p
−→ X + Y ;
2) λ X n
p
−→ λ X (λ ∈ R) ;
3) X n Y n
p
−→ XY ;
4) X n /Y n
p
−→ X/Y , si P{Y = 0} = 0.
Remarque. — Le corollaire montre que la convergence en probabilit´ e est
compatible avec les op´ erations alg´ ebriques ´ el´ ementaires. Il n’en est pas ainsi
de la convergence en loi.
Th´ eor` eme 2.3 (Crit` ere de convergence en probabilit´ e). — Soit (X n )
(n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ; s’il existe r > 0 tel que la suite de
terme g´ en´ eral
E
|X n |
r
(n ≥ 1) tende vers 0, alors la suite (X n ) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers 0.
1 Fourgeaud (C.), Fuchs (A.). — Statistique. — Dunod, Paris, , pp. 27–29.
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Exemple. — Reprenons l’exemple qui illustre la Remarque du paragraphe 1 relative `
a la convergence en loi.
1) On a X n
p
−→ X = 0, puisque pour tout ε > 0 :
P{X n > ε} ≤ P{X n > 0} =
1
n
→ 0.
2) La suite (E[X n ]) a les diff´ erents comportements d´ ecrits ci-dessus.
Donnons tout d’abord deux propri´ et´ es de la convergence en probabilit´ e.
Th´ eor` eme 2.1. — Soit (M n = (X n , Y n )) (n ≥ 1) une suite de points
al´ eatoires qui converge en probabilit´ e vers le point al´ eatoire M = (X, Y )
(c’est-` a-dire pour tout ε > 0 lim n P{ |M n − M | > ε } = 0, ce qui entraˆ ıne que
l’on a simultan´ ement X n
p
−→ X et Y n
p
−→ Y ). Soit d’autre part h : R
2
→ R
une fonction continue en tout point (x, y) de R
2 . Alors la suite des variables
al´ eatoires h(X n , Y n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers la variable al´ eatoire
h(X, Y ).
En particulier, si X n
p
−→ X et si f est une fonction r´ eelle, continue en
tout point de la droite r´ eelle, alors f ◦ X n
p
−→ f ◦ X.
Si X = c (c r´ eel), l’hypoth` ese X n
p
−→ c peut ˆ etre remplac´ ee par X n
L
−→ c.
Th´ eor` eme 2.2. — Si la suite de variables al´ eatoires (X n ) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers la variable al´ eatoire X et si P{X = 0} = 0,
alors 1/X n
p
−→ 1/X.
Les d´ emonstrations de ces deux th´ eor` emes peuvent ˆ etre trouv´ ees dans l’ouvrage de Fourgeaud-Fuchs.
1 Nous verrons que ce sont en fait des cons´ equences
du Th´ eor` eme 4.6 ci-dessous. Le corollaire suivant est une simple cons´ equence
de ces deux th´ eor` emes.
Corollaire. — Si la suite de points al´ eatoires (M n = (X n , Y n )) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers le point al´ eatoire M = (X, Y ), alors
1) X n + Y n
p
−→ X + Y ;
2) λ X n
p
−→ λ X (λ ∈ R) ;
3) X n Y n
p
−→ XY ;
4) X n /Y n
p
−→ X/Y , si P{Y = 0} = 0.
Remarque. — Le corollaire montre que la convergence en probabilit´ e est
compatible avec les op´ erations alg´ ebriques ´ el´ ementaires. Il n’en est pas ainsi
de la convergence en loi.
Th´ eor` eme 2.3 (Crit` ere de convergence en probabilit´ e). — Soit (X n )
(n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ; s’il existe r > 0 tel que la suite de
terme g´ en´ eral
E
|X n |
r
(n ≥ 1) tende vers 0, alors la suite (X n ) (n ≥ 1)
converge en probabilit´ e vers 0.
1 Fourgeaud (C.), Fuchs (A.). — Statistique. — Dunod, Paris, , pp. 27–29.